Heisenberg李(超)代数的自同构群

刘 蕾,唐黎明

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨 150025)

1 引言

近年来,Heisenberg李(超)代数的结构和表示一直是非常重要的研究课题,许多学者对此有着广泛研究.例如,文[1]研究了特征0代数闭域上2m+n+1维Heisenberg李超代数的表示;文[2]研究了复数域上无限维Heisenberg代数的全形和全形的导子代数,证明了其全形的导子代数是一个完备李代数;文[3]研究了特征2域上2n+1维Heisenberg李代数的同调;文[4]研究了向量超空间上有限维Heisenberg李超代数不变的超对称和超正交双线性型;文[5]研究了特征0代数闭域上两种类型Heisenberg李超代数的极小忠实表示.

本文约定在交换环上讨论Heisenberg李代数的自同构群,在特征0代数闭域上讨论Heisenberg李超代数的自同构群.仿照文[6]中交换环上严格上三角矩阵李代数的自同构和文[7]中复向量空间上Heisenberg李代数的自同构的刻画,参照文[3,7]中Heisenberg李代数的定义,利用文[7]中Heisenberg李代数与线性李代数之间的同构,本文研究了交换环上Heisenberg李代数的自同构,包括内自同构、中心自同构、对合自同构,进而得到其自同构群的子群,包括内自同构群、中心自同构群、对合自同构群.利用文[5]中有限维Heisenberg李超代数的定义,本文建立了Heisenberg李超代数与线性李超代数之间的同构,从而研究了特征0代数闭域上Heisenberg李超代数的自同构,包括内自同构、中心自同构、对合自同构,进而得到其自同构群的子群,包括内自同构群、中心自同构群、对合自同构群.

2 基本概念和引理

令R是具有单位元的交换环并且Mn(R)是R上所有n×n矩阵构成的集合,其中n是正整数.令eij表示第i行第j列元素为1,而其余元素为0的矩阵,其中i,j是正整数.

作成一个李代数,称H为Heisenberg李代数.

令F是特征0代数闭域并且Mn(F)是F上所有n×n矩阵构成的集合,其中n是正整数.

定义2.2[5]F上具有一维中心的二步幂零李超代数称为Heisenberg李超代数,并且Heisenberg李超代数分为以下两种类型.

(1)令是具有偶中心的Heisenberg李超代数,设

为它的一个基,并且李超运算由以下给出[ui,vi]= −[vi,ui]=z=[wj,wj],∀i=1,···,m,j=1,···,n,其余基元素之间的李超运算均为0.

(2)令是具有奇中心的Heisenberg李超代数,设

为它的一个基,并且李超运算由以下给出[vi,wi]=z=−[wi,vi],∀i=1,···,n,其余基元素之间的李超运算均为0.

根据定义2.2证得以下两个引理.

引理2.3令是一个线性李超代数,其中

设线性映射f

其中

则f是一个李超代数同构.

引理2.4令F上是一个线性李超代数,其中

设线性映射g

其中,则g 是一个李超代数同构.

3 主要结果及证明

记Aut(H)为Heisenberg李代数H的自同构群.

定理3.1设d∈Mn+2(R)为可逆的对角矩阵,x∈H.令α=d+x,则α可逆.设映射

其中 σα(h)=αhα−1,则σα是H 的一个自同构,称为H 的内自同构.令G是H 的所有内自同构构成的集合,则G是Aut(H)的子群,称为H 的内自同构群.

证易知σα是双射且是线性变换.由已知得α−1α=e,其中e是单位矩阵.∀h1,h2∈H,可得

因此 σα([h1,h2])=[σα(h1),σα(h2)].故 σα是 H 的一个自同构.∀σα,σβ∈ G,h ∈ H,可得

因此 σασβ=σαβ∈G.∀σα∈G,h∈H,可得

因此故G是Aut(H)的子群.

定理3.2令F={f∈HomR(H,R)|f(y)=0,∀y∈ δ[1](H)},其中 δ[1](H)=[H,H].∀f∈F,设映射

其中 ψf(h)=h+f(h)e1,n+2,则ψf是H 的一个自同构,称为H 的中心自同构.令S是H的所有中心自同构构成的集合,则S是Aut(H)的子群,称为H的中心自同构群.

证易知ψf是双射且是线性变换.∀h1,h2∈H,可得

因此 ψf([h1,h2])=[ψf(h1),ψf(h2)],故 ψf是H 的一个自同构.∀ψf,ψg∈ S,h∈ H,可得

因此 ψfψg= ψf+g∈ S.∀ψf∈ S,h∈ H,可得 ψfψ−f(h)=(h−f(h)e1,n+2)+f(h)e1,n+2=h,因此 ψ−f=ψ−1f∈S.故S是Aut(H)的子群.

定理3.3令γ=e1,n+2+e2,n+1+···+en+2,1.设映射

其中 w0(h)=−γhTγ,则w0是H 的一个自同构,称为H 的对合自同构.令W={ι,w0},其中ι是恒等变换,则W 是Aut(H)的子群,称为H 的对合自同构群.

证易知w0是双射且是线性变换.由已知得γ2=e,γT= γ,其中e是单位矩阵.∀h1,h2∈ H,可得

因此 w0([h1,h2])=[w0(h1),w0(h2)].故w0是H 的一个自同构.∀w0∈W,h∈H,可得w0w0(h)= −γ(−γhTγ)Tγ=h,因此 w20=ι∈W.故W 是Aut(H)的子群.

记Aut(ℌm,n),Aut(ℌn)分别为Heisenberg李超代数ℌm,n,ℌn的自同构群.

令α=d+x,则α可逆.设映射

其中 σα(h)=αhα−1,则σα是ℌm,n的一个自同构,称为ℌm,n的内自同构.令G1是ℌm,n所有内自同构构成的集合,则G1是Aut(ℌm,n)的子群,称为ℌm,n的内自同构群.

证易知σα是双射且是线性变换.由已知设

则有

其中由引理2.3,设

则有

故σα是偶的线性变换.由引理2.3,设

则有

因此 σα([h1,h2])=[σα(h1),σα(h2)].故σα是ℌm,n的一个自同构.由定理3.1的类似证明可得G1是Aut(ℌm,n)的子群.

定理 3.5令 a=(a1,b1,···,am,bm)∈ F2m.设映射

则ψf是ℌm,n的一个自同构,称为ℌm,n的中心自同构.令S1是ℌm,n所有中心自同构构成的集合,则S1是Aut(ℌm,n)的子群,称为ℌm,n的中心自同构群.

证易知ψa是双射且是线性变换.由(3.1)和(3.2)式可得

故ψa是偶的线性变换.由定义2.2和引理2.3可得 ψa(e1,m+2)=e1,m+2.∀h1,h2∈ℌm,n,可得ψa([h1,h2])=[h1,h2],

因此 ψa([h1,h2])=[ψa(h1),ψa(h2)].故ψa是ℌm,n的一个自同构.由定理3.2的类似证明可得S1是Aut(ℌm,n)的子群.

其中 w0(h)=γhγ,则w0是ℌm,n的一个自同构,称为ℌm,n的对合自同构.令W1={ι,w0},其中ι是恒等变换,则W1是Aut(ℌm,n)的子群,称为ℌm,n的对合自同构群.

证事实上w0∈G1,{ι,w0}构成G1的子群.

定理3.7设d∈Mn+2(F)为可逆的对角矩阵,x∈(ℌn)0.令α=d+x,则α可逆.设映射

其中 σα(h)=αhα−1,则σα是ℌn的一个自同构,称为ℌn的内自同构.令G2是ℌn所有内自同构构成的集合,则G2是Aut(ℌn)的子群,称为ℌn的内自同构群.

证易知σα是双射且是线性变换.由已知设

则有

其中由引理2.4设

则有

故σα是偶的线性变换.由引理2.4设

则有

因此 σα([h1,h2])=[σα(h1),σα(h2)].故σα是ℌn的一个自同构.由定理3.1的类似证明可得G2是Aut(ℌn)的子群.

定理 3.8令 b=(b1,···,bn)∈ Fn.设映射

则ψb是ℌn的一个自同构,称为ℌn的中心自同构.令S2是ℌn所有中心自同构构成的集合,则S2是Aut(ℌn)的子群,称为ℌn的中心自同构群.

证易知ψb是双射且是线性变换.由(3.3)和(3.4)式可得

故ψb是偶的线性变换.由定义2.2和引理2.4可得 ψb(e1,n+2)=e1,n+2.∀h1,h2∈ℌn,可得

因此 ψb([h1,h2])=[ψb(h1),ψb(h2)].故ψb是ℌn的一个自同构.由定理3.2的类似证明可得S2是Aut(ℌn)的子群.

其中 w0(h)=γhγ,则w0是ℌn的一个自同构,称为ℌn的对合自同构.令W2={ι,w0},其中ι是恒等变换,则W2是Aut(ℌn)的子群,称为ℌn的对合自同构群.

证易知w0是双射且是线性变换.由(3.3)和(3.4)式可得

故w0是偶的线性变换.由已知得γ2=e,其中e是单位矩阵.由(3.5)和(3.6)式可得

因此 w0([h1,h2])=[w0(h1),w0(h2)].故w0是ℌn的一个自同构.由定理3.3的类似证明可得W2是Aut(ℌn)的子群.

参考文献

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