“对称性”在古典概型中的应用

左亦丹 刘丽蓉

【中图分类号】G633.6；G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）17-0153-01

古典概型即满足试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。而在这些等可能的基本事件中，如果存在结构完全一致，处于对称、平等的地位两个基本事件，那么称这两个事件为对称事件。我们可以通过对基本事件对称性的判断，可获得解决问题的简洁的思路，收到意想不到的效果。

例1 n对恋人任意的排成一列，出现每一位男友刚好都排在其女友后面（可以不相邻）这一事件的概率大小如何？

分析：如果我们按一般方法处理，那么基本事件的结构是2n个人的一次排列，因此基本事件总数为（2n）！。所关心的事件的结构特点是“每位男友必排在其女友之后”，对此结构作“乘性剖分”：先把n位男子进行排列，有n！种可能，对每种这样的排列再按前后顺序逐一安排相应女友的“超前”位置，由乘法原理知有利的基本事件数为：

n！·（1·3·5……（2n-1））=n！（2n-1）！！

从而知所求概率为=。

如果我们注意到研究简单事件“第i对恋人，男友在女友后”对称于简单事件“第i对恋人，女友在男友后”，再兼顾其互逆性，知第i对恋人，男友在其女友后的概率为P=。

如记Ai表示第i对恋人，男友在其女友后这一事件，则我们所关心的事件为Ai，因为任一对恋人的位置不会影响其他对恋人的位置安排，故而相对独立。

从而P（Ai）=P（Ai）=

对于两个等可能事件是否为对称事件，我们不能从某种特殊情况或所谓的经验来判断，要根据事件之间的关系及问题的本质来判断，同时还要特别注意两个对称事件是互逆的关系，即它们不能同时发生。我们仍通过实例来讨论这个问题。

例2 甲、乙两个人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

分析：由于硬币的均匀性，投掷的随机性，因此基本事件的出现是等可能的。不妨记：甲正=甲掷出正面的次数，甲反=甲掷出反面的次数，乙正=乙掷出正面的次数，乙反=乙掷出反面的次数。我们现在需要考虑的是事件（甲正>乙正）的概率。

現在我们来考虑事件甲正>乙正与事件甲反>乙反之间的关系：

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反） （*）

但由于硬币是均匀的，投掷是随机的，事件（甲正>乙正）与事件（甲反>乙反）完全处于对称、平等的地位，相应的概率应该相等，即

P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）

由（*）式，通过概率的性质，即得

P（甲正>乙正）=

此例的求解巧妙地应用了事件间的对称性，但“对称性”的应用，此地得通过（*）式，判明事件（甲正>乙正）与事件（甲反>乙反）互逆。初学者易于忽视对对称事件进行互逆关系的判断，请看下例。

例3 甲、乙二人投掷均匀硬币，其中甲掷（n+2）次，乙掷n次，求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。

如果仿照通上面解题思路来考虑，那么对称性知

P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） （1）

且

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反）（2）

由（1）、（2）即得

P（甲正>乙正）=

但是，此解答是错误的。

上面的解答为何是错误的？是什么原因造的呢？

我们以甲掷（2+2）次，乙掷2次为例来分析一下。

甲正>乙正包含以下几种情形：

1.甲掷出三反一正，乙掷出两反，其概率为

C（）·C（）=

2.甲掷出两反两正，乙掷出一正一反、两反，其概率为

C（）[C（）+C（）]=

3.甲掷出一反三正，乙掷出两反、一反一正、两正，其概率为

C（）[C（）+C（）+C（）]=

4.甲掷出四正，乙掷出两正、一正一反、两反，其概率为

C（）[C（）+C（）+C（）]=

所以P（甲正>乙正）=+++=≠

造成错误的原因是什么呢？先来看P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）是否成立。由于事件（甲正>乙正）与事件（甲反>乙反）完全处于对称平等的位置，因此，（1）式是成立的。事实上，用同样的方法可算出P（甲反>乙反）=.

再来看Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）=（甲反>乙反）是否成立。

在上面的特例中，对于第一种情况，即甲掷出三反一正，乙掷出两反的有利于的事件（甲正>乙正），但同时又有利于事件（甲反>乙反），这说明

Ω-（甲正>乙正）=（甲正≤乙正 ）≠（甲反>乙反）

对一般情况，甲-乙=（n+2）- n=2，此时

事件（ 甲正>乙正）与事件（甲反>乙反）不互逆。

事实上，由（甲正-乙正）+（甲反-乙反）=2，若事件（甲正>乙正 ）发生，则甲正-乙正≥1，特别当甲正-乙正=1时，得甲反-乙反=1，即事件（甲正>乙正）发生。

所以（甲正>乙正）∩（甲反>乙反）≠？准，从而说明Ω-（甲正>乙正）≠（甲反>乙反）。

因此事件（甲正>乙正）与事件（甲反>乙反）仅满足“对称性”关系而不满足“互逆”关系。

因此，利用“对称性”对于古典概率问题进行计算时，一定要判断两个对称是否满足互逆关系，否则将可能导致错误。

综上，我们在解答古典概型的有关问题时，充分注意到某些事件之间的对称性，无疑在产生简洁的思路、简便的计算是大有好处的，一定不能忽视它们之间的互逆关系。