关于凸函数在不等式中应用的探讨

彭磊 孟虹宇

函数的凸性把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学地、准确地描述函数的图像，而且有助于对函数的分析。凸函数是一种重要的几何性质，在泛函分析、数学规划及数理经济学等应用数学领域都有很多的应用。通过对凸函数的定义、性质的描述，主要研究其在不等式证明中的应用，讨论几个重要的不等式。

1 凸函数的定义

定义：设 在区间I上有定义，若 ，有

， ，称 为区间I上的凸函数。

若（B）式“ ”改为“<”时，则称 为I上的严格凸函数。

2 凸函数的性质

性質1：若 在区间I上为凸函数，对 则： 时， ； 时， 。

性质2：若 ， 在区间I上为凸函数，对 则： 为区间I上的凸函数； 为区间I上的凹函数。

3 应用凸函数的定义证明不等式

例如：

证： 设 则 为凸函数。

取

由定义有

即得：

4 Jensen不等式的应用

（Jensen不等式）若 为[ ]上的凸函数，则对任意的 有

例如：证明不等式 其中 均为正数。

证： 设 则有

可见， 为严格凸函数。

根据Jensen不等式有 ，

则

又因 ，所以

5 Young不等式的应用

（Young不等式）设 ， 则有：

例如：求证：

证明： 令

所以有

当

从而有

6 H?lder不等式的应用 （H?lder不等式）

（积分形式）： ， ， 在 上可积，有

例如： 设 和 为 上的正值连续函数，则

证：令

由Schwartz不等式，得

则 为凹函数，所以 以 的定义带入此式，即得证。

7 凸函数的总结

通过对凸函数的定义和性质理解，来利用函数的凸性来证明不等式，是一种常用和非常有效的方法。通过对凸函数对应不等式的证明，我们认识到，利用凸性来证明凸函数，关键是找到合适的凸函数，而且同一不等式，可通过不同的凸函数来可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易，在丰富证明不等式方法，简化不等式证明过程中发挥了一定的作用。

（作者单位：内江职业技术学院）