非等间距GM（1,1）模型原始模型的优化

杨泽辉 崔文文

根据非等间距GM（1，1）模型基本理论，以原始序列的观测值和模拟值的相对误差平方和最小为条件，基于最小二乘法的计算基本原理，求出待定系数，然后构建非等间距GM（1，1）模型，通过计算模拟精度有所提高。

灰色理论系统是中国学者邓聚龙先生于1982年创立的一种关于预测和决策的一門学科，主要通过对“部分”已知信息的生成，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，灰色系统理论自邓聚龙教授创立以来，经过二十多年的发展，现已基本建立起系统分析、评估、建模、预测、决策、控制优化技术于一体的一门新兴学科的结构体系，但是灰色系统模型的建立大多基于等间距序列，而实际工作中所得到的原始数据往往是非等间距的序列。文献阐述了非等间距序列的GM（1，1）模型的建模机理，并在具体的领域得到了广泛的应用，但是建模精度还比较低，应用受到一定限制。本文研究了非等间距序列的建模机理，提出了一种以原始序列的模拟值和观测值的相对误差平方和最小为依据，利用最小二乘法的算法基本原理，计算出待定系数c，然后构建非等间距GM（1，1）模型原始模型的优化模型，实例的计算结果表明该方法具有较高的预测和模拟精度。

1 非等间距序列灰色模型的建立

定义设

序列，若间距

（1）

不为常数，则称为非等间距序列。为了综合考虑序列的间距，在对原始序列进行一次累加时，以序列的间距作为乘子，建立非等间距GM（1，1）模型。

定义：设为原始序列，是的一次累加序列当且仅当，并满足.根据邓聚龙提出的等间距的一次累加的基理，文献提出了非等间距的一次累加。

定理设为非负非等间距的光滑序列，，

为的一次累加生成序列，对建立

的白化微分方程为

（2）

它的灰色微分方程应该为：

（3）

其中是在区间上的背景值，为和的均值，即.

设为参数列且

Y=        ，B=

则非等间距GM（1，1）模型的最小二乘法估计参数列满

足.

2 非等间距GM（1，1）模型原始模型的优化

文献是运用最小二乘法优化非等间距GM（1，1）模型响应函数，但不能保证原序列的观测值与模拟值的相对误差平方和为最小，造成模拟精度和预测精度不尽人意，本文保留待定系数，以原始序列的观测值与模拟值的相对误差平方和为依据，引入平均相对误差平方和为指标函数，然后运用最小二乘法优化原始序列的模拟值和预测值，从而使模拟精度和预测精度都比较高。

设Y，B，，  如定理1所述，，知白化微分方程为

由微分方程解的性质知，可将白化微分方程的解设为

即

（4）

设为原始序列的观测值和模拟值的相对误差平方和

这是一个二次函数，必存在极小值，由二次连续可导函数极小值定理可知，极小值点必， 设，只有当时，，所以，于是，对于严格指数而言，此模型模拟没有理论偏差，只有计算的误差。

3 应用实例

在灰色系统的研究中，由于信息不完全，不准确，存在误差较大也是在所难免的，但是怎样进行减小误差，提高其精度，优化其数据是这个学科主要的研究方向，在灰色系统的研究中，很多学者单独的研究了灰色关联度和灰色模型，而没有将他们有机的结合起来，怎样解决这个问题一直是研究灰色系统理论的学者们面临的一个难题，在这种情况下，本人查阅多种文献对各个关联度进行了分析比较，最后选择了适合于普通数据建模的接近性关联度。接近性关联度用于测度序列折线在空间中的接近程度，需要说明的是接近关联度仅适用于序列的意义、量纲完全相同的情形，当序列的意义、量纲不同时，研究其接近关联度没有任何意义。对于长度不同的序列，可采取删去较长序列之过剩数据，补齐较短序列之不足数据等措施使之化成长度相同的序列，但这样一般会影响接近关联度的值。

PG福雷斯研究了许多材料的长寿命对循环下温度对疲劳强度的影响，这是一个非等间距序列，我们从所给试验曲线中采集到钛合金疲劳强度随温度变化的数据（表1）。

4 结论

本文基于非等间距GM（1，1）模型研究的基础上，通过用最小二乘法优化原始数据的模拟序列模型，并通过实例进行说明提高了非等间距GM（1，1）模型的模拟精度和预测精度，进一步拓宽了GM（1，1）模型的使用范围，该模型对于非等间距序列的拟合和预测具有广泛的使用价值。文献由于理由不足，所以其数据缺乏说服性。

（作者单位：黄河交通学院）