浅谈高中学生在立体几何中解题错误的分析

王以芬

一、空间想象能力欠缺产生错误

在学习中，学生往往不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，误导了解题且不易查错，从而影响了解题。

二、思维定势的影响产生错误

高中立體几何与初中平面几何，对原有知识结构的认知冲突。因此，在思维惯性的影响下，常将立体问题当成平面问题来处理而出现错误，反映在以下两个方面：

（1）识图与画图。表现在“看到的与想到的不一样”。

（2）在平面几何中一些学生熟悉的、常用的直观、正确的概念和定理，在立体几何中却不成立。

三、在利用空间向量解决问题时，计算错误

那么要减少学生解题错误的发生，有哪些方法呢？我个人认为要抓好课前、课内、 课后三个环节。

1.课前准备要有预见性

预防错误的发生，是减少高三学生解题错误的主要方法。备课时，要仔细研究考纲，课程标准，真题等对该知识是如何考，要揣摸学生学习本内容的心理过程，预先明了学生容易出错之处，防患于未然。预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误打下基础。

2.课内讲解要有针对性

在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。在课堂教学时，可由个别学生分析解答例题，再由学生订正，教师引导予以总结。要通过课堂提问，及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。类比练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。

3.课后要及时总结

要认真分析学生课后巩固中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过总结，使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。

在教学中应该采取的措施及注意问题：

（一）立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，图形语言、文字语言、符号语言三者间转换，深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（二）培养空间想象力

首先，制作一些简单的模型，通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。

其次，要培养自己的画图能力，可以从简单的图形、几何体开始画起。最后，要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。

（三）逐渐提高逻辑论证能力

历年高考中都有立体几何证明的考察。证明时，首先要保持严密性，符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。

（四）“转化”思想的应用

解决立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。在学习立体几何中，体会以下转化关系：

1.数学语言的相互转化

在立体几何中，利用三种数学语言——图形语言、文字语言、符号语言的转化，可以有效化解难点，发展数学思维。在立体几何中，通过三种语言的结合，有效的帮助学生对定理的理解和应用。

2.点、线、面位置关系的相互转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系即相互依存，又在一定条件下能纵向转化。线线平行（或垂直）、线面平行（或垂直）、面面平行（或垂直）的转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现，平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述互相转化关系去证明。面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

3.空间几何问题向平面几何问题转化

将空间问题转化为熟知的平面问题时研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线；斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角；二面角转化为二面角的平面角。

4.体积问题中的转化

在求三棱锥高的时候往往用到体积问题的转化，利用等体积转换底去求体积的方法就能求出三棱锥的高。

空间角的问题，在转化成两相交直线所成的角，或直线与法向量所成角，或法向量与法向量所成角一定要注意角的范围的问题；

在利用向量法求空间距离问题时，转化为点与线、点与面的距离，应注意熟记公式，并加上绝对值。

在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用。应熟练掌握平面法向量的求法和用法，空间距离、空间角公式及推导过程、求出直线的方向向量、平面的法向量。

（五）总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如，求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。还要注重规范训练，答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要。在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的。

在立体几何的学习中，要让学生动手操作和主动参与，在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，提高空间想象能力，进一步提高他们的学习兴趣，加深他们对数学的理解，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。