电磁感应中的单双杆模型通法

杜浩天

摘 要：电磁感应中单，双杆模型是高考物理解答题中的一种重要模型。具有题干简单，思维巧妙，需要综合运动学与动力学，能量关系的特点。笔者从物理意义出发，解释了两类问题共同的物理背景，采用不同的数学方法总结了这类问题的通用思路与解法

关键词：电磁感应；单杆模型；双杆模型

电场与磁场在是能量的两种不同的表现形式，通过观察电子的微观运动，在固定的参照系中，可以看到带电粒子受到洛伦兹力的影响，而当导体处于磁场中时，带电粒子由于运动受限，表现为有序运动，宏观对外体现为电流，并使导体收到了安培力，通过计算处在磁场中的单一带电导体，以及一对带电导体，并进行对照分析，可以从一个角度解释两种效应的联系和差别，以及外力与做功及能量的转化形式。实际上，同一个电荷产生的电场相对于静止和运动的观察者来说，一个观察到了静电场，而另一个观察到了电磁场。换言之，磁场部分的特性相对于静止的观察者是不绝对的，取决于运动的观察者的相对运动关系，即磁场也是是一种典型的矢量，参照系的选取对矢量的观察存在惯性参考系的矢量叠加原则。本文在地球与磁场相对静止的参考系中进行计算与分析，以简化讨论的范畴，突出其物理意义。

本文讨论了不同的两种模型，分为单杆模型与双杆模型，这里的杆实际上其定义等价为带电导体，其在磁场中运动切割磁力线，并受电磁感应力的影响，运动过程较为复杂，可以同时从力的角度与能量的角度分析同意物理过程；从力的角度更清楚的观察分析过程，从功能的角度可以更清楚的计算结果及稳态响应。

1 单杆模型

在水平桌面上，有电阻大小为R，金属杆长为L质量为m不计电阻，导轨光滑不计电阻，在导轨内部有大小为B方向垂直纸面向外的匀强磁场，初始状态如图。现在给金属杆一个大小V的初速度，使其向右运动，直至停止时。讨论如下几问：

（1）全程发热多少？

（2）通过R的电荷量时多少？

（3）通过路程有多长？

①对杆而言，在外力给予一个冲量，获得一定的初速度后，杆切割磁力线，本身会引起杆内的自由电子定向移动，于是正负电荷向两端富集，而金属感在与滑轨形成闭合回路后，富集的过程变成在回路中的电流行为，这个电流让杆在磁场的影响下形成安培力反过来作用于杆，物理过程是变速运动，宏观的结果是杆慢慢减速，逐渐停止。其运动学过程为：

初始速度为V，加速度为负极大值；过程中，速度减小，加速度为负，绝对值减小；终了，速度为零，加速度为零。

其电动势过程为：

初始瞬时电动势最大，正比于V，过程中，一方面，随着放电在电阻上以热量的形式耗散，电动势减小；终了，电动势为零。

其能量过程为：

由于是无外界干预的保守场，其能量守恒。初始态，无热量，具有最大的初速度，即动能，终了，速度为零，则能量体现为系统对外界的散热。

杆具有大小为V的初速度，故其具有动能Ek=12mV2，最后静止，由能量守恒定律可知：金属杆的动能完全转化为了电阻R上的电热。故全程生热Q=12mV2。

②对于中间过程而言，可以分解成一个个连续的暂态，而对暂态的分析，其实是在较小的时间尺度上的观察结果，其同样符合电磁学的基本原理。而时间累计的结果，就是整个物理过程。这样类似于时间分割的观点，也是数学中的微分的观点，即在时间尺度上无穷小量的连续累加，其数量上是积分运算的结果。

④小结：以上通过分析单杆在磁场中的运动，能量的转化物理过程，以实例解释了电磁、力、运动、能量的本质联系和相互影响关系，从任意一个角度的分析，其物理过程一致，观察到的结果不同，是同一物理过程的不同表现形式。在此基础上，将分析较为复杂的双杆场景，其运动过程发生了关联。

2 双杆模型

在水平光滑不计电阻的导轨上，放有静止的两电阻各为R，的光滑金属杆。杆A质量为m，杆B的质量为M，导轨平面内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场大小为B。

（1）若给A以水平向右初速度V0，求最终两导轨的运动速度。

类似地，同样从运动，电场，能量的角度分析。

其运动学过程为：

A杆初始速度为V，加速度为负极大值；过程中，速度减小，加速度为负，绝对值减小；终了，速度为稳态，加速度为零。

B杆初始速度为0，加速度为正极大值；过程中，速度增大，加速度逐渐减小，；终了，速度为稳态，加速度为零。

其电动势过程为：

A杆初始瞬时电动势最大，正比于V，过程中随着放电在电阻上以热量的形式耗散，电动势减小；终了，电动势为零。

根据回路性质，回路总压降为0，因此B杆初始瞬时电动势最大，方向与A相反，即A、B两杆受到的安培力大小相等，方向相反；

其能量过程为：

由于是无外界干预的保守场，其能量守恒。初始态，无热量，具有最大的初速度，即动能，终了，速度为零，则能量体现为系统对外界的散热。

最终，A的能量由最大动能，转化为AB的稳态动能，以及热量耗散。

3 结论

通过分析处在磁场中的运动的导体的物理过程，结合了电磁感应定律，欧姆定律，安培力，能量守恒定律，可以看出，速度，电能，热能，力，场，都是不同的表现形式，其本质仅在于观察的角度差异，由于其内在的统一性，分析物理过程实际上具备很大的灵活性，无论从任何一个角度去观察，符合物理规律的观察结果都是合理的。除了本文方法，通过其他满足电磁学基本规律的方法，都可以用来解释复杂的电磁学综合问题的物理过程，即电场，磁場，动能，都只是能量不同的外在表现形式，其本质上是统一的。

参考文献：

[1]张三慧.从功能定理到热力学第一定律到普遍的能量守恒定律[J].物理通报，2002（12）：5-7.

[2]费恩曼，莱顿，桑兹.费恩曼物理学讲义[M].上海科学技术出版社，2015.

[3]陈燊年.稳恒电流中能量守恒与转化定律的普遍形式[J].大学物理，1984，1（12）：25-28.

[4]梁铁峥.从“场”的方法论证稳恒电路电场、分布和能量传输过程——电磁学“场路关系”讨论之一[J].内蒙古大学学报：自然科学版，1980（1）：73-78.

[5]沈瑞莲，李秀林.电磁场与电路的内在联系[J].杭州师范大学学报：社会科学版，1999（S1）：172-173.

[6]罗维治，朱久运.电磁感应中的“佯谬”与电磁感应定律的表述[J].大学物理，1982，1（2）：20.

[7]赵凯华.电磁感应定律的通量表达式[J].大学物理，2001，20（2）：1.