人口预测数学模型分析

孟鹏洋

摘 要：解决人口问题对国家的稳定和社会经济的发展都有很重要的作用，因此学术界一直以来都十分关注人口预测的研究课题。本文首先选取Logistics模型对人口规律进行了描述，对未来5年的人口进行预测，再运用灰色系统GM（1，1）模型对我国的人口进行了中短期的预测。引入Leslie模型，根据需要将育龄妇女生育率进行归一化，定义了年龄别水平，利用matlab软件对增长矩阵进行有限次的迭代，预测出来我国的人口高峰达到的时间，并会在之后的一段时间里趋于稳定。

关键词：人口预测；数学模型；分析

一、人口预测数学模型

人口预测方法体系中的数学和统计学方法一直被学术界沿用至今，下面根据研究结果分别选定Logistic模型对我国人口做短期预测；对我国人口进行中期预测时选定了灰色GM（1，1）模型；长期预测则由Leslie模型来完成。

1.Logistic模型

Logistic模型的原型是Malthus模型：学术界的增长矩阵选择灰色GM（1，1）模型预测人口的自然增长率为固定值，即单位时间内的人口增长与人口成比例。

并且假定人口的增长按照指数增长的函数进行；其模型的离散形式为：

[ （+ ） （）] = 住？

其中 （）表示时刻的人口总数， 就是人口的自然增长率。这个模型说明人口增长一倍所需要的时间是定值，且在未来无限增长。但是当人口总数达到环境最大承载数目时，净增长率趋于零。在这种情况下得到了预测人口增长更为合理的Logistic模型

再进行数据处理。根据中国人口总数的数据，用matlab求解该非线性拟合。得到 = 0.0678， = 0.048 ，拟合的残差resnorm=0.0016。由绘制的Logistic的增长型函数的图像，得出当∞时，p（t）==14.1250。

然后进行 Logistic模型误差分析。我们通过统计年鉴等工具得到了相应的年代的人口的统计数据，然后利用matlab软件对数据进行处理后，得到了预测值，为了更好做误差分析，先定义误差率为d，预测值为a，真实值为c，然后根据公式求得误差率。

根据中国统计年鉴可以得到1989年到2005年年末的实际总人口总数，然后与函数预测的数值进行计算，我们可以得到相对应的误差率。可以得出随着时间的增长Logistic模型的误差率波动呈上升的趋势，但是该模型在短时间内的误差值比较小，2008年以后的误差率的数值是呈直线上升的趋势，所以我们可以用Logistic模型对我国的人口总数进行短时间内的粗略预测并以此对2018到2023年的人口总数进行预测。

根据数据推测出未来五年全国人口的总数分别为13.25亿、13.31亿、13.42亿、13.47亿和13.52亿；并且全国的总人口在未来趋近14.125亿.但是由误差率合一看到，Logistic模型适用于短期的预测，在中长期的情况下预测的效果不是很好，原因是在现代影响人口增长的因素有很多，除了环境的承载能力，还要受包括医疗水平提高、人口政策的变化，甚至是战争、生育观念等因素影响，而这些都不会在数据表面体现出来，Logistic模型在这方面的缺乏降低了人口预测的精确度。

2. GM（1，1）模型的建模与预测

建立GM（1，1）模型：设为已知的原始数据序 = {}，先对原数据累加以弱化个别数据对整体的影响，生成的新表达式为=（ = 1，2…，，从而得到新序列，然后构造背景序列= （2）， （3），…， （）。一般取 = 0.5建立影子方程为 =。离散化，得到GM（1，1）灰微分方程 + = ，其中c，v待定的系数。

求解GM（1，1）模型，应用最小二乘法可经下面的式子求得记 [c，v]，[（0），（0），…，（0）]。基于matlab软件编程求出参数c，v的值，得出预测方程（1）=[（0）]+，则还原为原始预测值。

灰色模型进行长期的预测时候，时间序列长短和数据的随机波动都会对预测造成误差，因此，通过对数据进行等维递推的方法一定程度上可以消减灰色的区间，提高预测精度。等维递补方法的原理：首先按照已有的数据列建立灰色模型并且预测出第一个数值，再将这个值添加到之后的同事间去除的第一个数值，让它一直保持着等维度，然后再预测下一个 数值，以此类推，直到达成预测精度并完成预测目标。然后用matlab套用灰色模型的公式进行拟合并建模，为编程方便，将时间相应方程简化为= ？ （a ？） +，根据程序输出的结果得到原始时间响应方程，然后根据上诉方程预测2008年到2016年的人口数据。并用matlab求出模型的后驗差比值C=0.0059468506和小概率的P = 1。将C值和P值与原数值进行对比，得出该模型的拟合的精度等级为“好”，且可以从上表看到其相对误差的变动范围基本维持在0.1%之间.这些可以进行接下来的人口预测。

根据上述得到的时间相应方程用matlab进行数据处理，得出我国2017年到2052年人口预测值。

2017年的预测值是13.67亿，并以线性的趋势持续增长，到2023年是14.078亿，2033年为14.78亿，2050年突破了16亿。从误差检验上看，灰色模型在短期和中期的预测效果非常好，要优于Logistic模型，但是从预测值整个变动的趋势上看，它的拟合值是呈现直线增长的方式并且长期发展下去，仅以单人口的因素进行推算而没有考虑其他因素，这个是本模型的缺点，所以可以肯定地说灰色系统模型不适合人口长期发展的预测，其误差也会随着时间的推移而逐渐增大。

3.人口增长的长期预测――Leslie模型

Logistic模型能够较好地反映短期人口增长的规律，但是限制的条件也很多，对长期的预测肯定不符合现实，因此本文引入第三个模型，Leslie模型进行人口增长的预测。