基于平衡二进制序列对的四元序列研究

蒋昌松

摘 要：在密码学中，具有良好自相关性质的序列有着广泛的运用。本文提出通过周期为N≡1（mod4）的具有最佳互相关值的平衡二进制序列对构造四元序列。结合割圆和逆格雷映射的方法，通过计算机编程具体实现自相关函数值的求解，为理论分析提供一定的依据和参考。

关键词：序列对；四元序列；自相关性；周期

在码分多址（CMDA）、雷达等通信系统中，具有良好自相关性质的序列有着广泛的运用。具有不同低相关性的序列集可以用于不同的通信系统，以达到消除干扰的目的，提高系统的性能。

1 构造平衡二进制序列对

采取割圆的方法构造平衡二进制序列对，本文中选取N=4f+1为周期，通过α4来生成乘法子群D0，其中α为整数剩余环ZN={0，1，…，N-1}的本原根。D0={α4k：0≤k

2 四元序列的构造研究

φ（a，b）定义为逆格雷映射，其中φ[1，1]=0，φ[1，-1]=1，φ[-1，-1]=2，φ[-1，-1]=3。通过公式S（t）=φ（u（t），v（t） ） 1≤t≤N可以得到长度为N的四元序列。

其中si-si-τ为四元域上的运算。如果一条序列满足下列条件中的1个或2个，就称该序列具有良好的自相关性质。（1）非平凡自相关函数值的最大值尽可能小；（2）非平凡自相关函数值出现最大值得次数尽可能小。当序列满足条件（1），则称为具有最优的自相关性幅度。更进一步，当满足条件（2）时，称s具有最优的自相关值。

3 应用举例

1 取N=17=1+4·4，本原根α=3。将 分割为D0={1，4，13，16}，D1={3，5，12，14}，D2={2，8，9，15}，D3={6，7，10，11}。進而得到平衡二进制序列对。通过逆格雷映射后，得到序列

S={0，3，1，2，3，2，0，0，1，1，0，0，2，3，2，1，3}

通过四元序列的自相关函数，可以得到N=17时的序列自相关值。

2 令N=37=1+4·9，本原根取2，进行分割D0={1，7，9，10，12，16，26，33， 34}，D1={2，14，15，18，20，24，29，31，32}，

D2={3，4，11，21，25，27，28，30，36}，D3={5，6，8，13，17，19，22，23，35}

序列对u和v的特征集U=D0∪D1，V=D0∪D3。逆格雷映射后，得到四元序列S={0，3，2，1，1，0，0，3，0，3，3，1，3，0，2，2，3，0，2，0，2，1，0，0，2，1，3，1，1， 2，1，2，2，3，3， 0，1}。

通过不同移位τ得到的自相关值为：

={37，-1-2i，-1，-1+2i，-1+2i，-1，-1，-1-2i，-1，-1-2i，-1-2i，-1+2i，-1-2i，-1，-1，-1，-1-2i，-1，-1，-1，-1，-1+2i，-1，-1，-1，-1+2i，-1-2i，-1+2i，-1+2i，-1，-1+2i，-1，-1，-1-2i，-1-2i，-1，-1+2i}

我们可以得到 ，最大自相关值为 。我们知道，四元序列的自相关值为a+bi

对于周期为奇数的四元序列，其自相关值最优为1，即实数或者虚数为1。所以我们得到结论，当周期为

37时，自相关值最大为 ，具有低相关值。

4 总结

本文通过平衡二进制序列对提出构造四元序列的想法。首先通过割圆的方法确定平衡二进制序列对的特征集，进而构造出平衡二进制序列对。然后通过逆格雷映射，得到了四元序列。并对其自相关函数值进行了研究和分析。通过计算机编程，当选取周期N=4f+1时，得到的四元序列具有低相关值。为今后的理论研究提供参考依据。

参考文献：

[1]闫统江. 伪随机序列的构造及其性质研究[D].西安电子科技大学，2007.

[2]李金寨.具有良好自相关性质的四元序列的研究[J].宁德师范学院学报（自然科学版），2011，23（03）：239-242+246.

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