以方程教学为载体，培养学生的数学思想

范美华

摘 要：方程是学生在小学阶段所接触的一项重要数学工具。在指导学生学习方程时，教师要注重渗透符号感和代数思想，要在教学中培养学生的建模思想，同时更要引导他们深入体会方程的建构方法。

关键词：方程；教学；数学思想

在引导学生学习方程时，教师在初始阶段要让学生理解方程的意义，运用等式性质解一步计算的方程，到了后阶段，教师要指导学生研究形式上稍微复杂一点的方程，并能够尝试运用方程来解决实际问题。在教学中，笔者发现学生学习方程的难点主要是从复杂情境中抽象出较为本质的内容，这样即可建立模型，使问题简化。实际上这就要求教师帮助学生逐步建立方程思想。

一、注重符号感和代数思想的渗透

方程是现实世界数量关系的模型刻画，它的本质在于引导学生对未知与已知的本质关系进行探寻，进而启发学生在数量上发现等量关系，同时还能体会方程与实际问题的关联，进而感受其中的建模思想。事实上，在学生正式学习方程之前，他们已经经历了很多算术与初步代数的启蒙，这些内容和知识都将成为学生领会方程思想的基础。

比如，学生在对加减法和乘除法进行学习时，教师就安排诸如“7+（ ）=18”和“7×（ ）=14”等问题让学生处理，学生也将由此感受到未知与已知之间的等量关系，并逐步掌握方程的雏形。在指导学生研究长方形和正方形等图形的面积时，教师都会安排学生以字母的形式来对面积公式进行计算，这其实就是代数思想的渗透，而这一切都在为学生的方程学习进行铺垫。

二、在方程教学中培养建模思想

方程是“数与代数”体系中的一个重要概念，它的一般定义可以表述为“含有未知数的等式”，其中“未知数”和“等式”则是这个概念的核心属性。教学中，教师还要让学生体会到方程实际上也是一个数学模型。在很多问题的处理过程中，学生需要在未知与已知之间搭建关联，并利用方程将其表达出来。

1. 遵循一般规律实现概念教学

方程的教学也应该遵循一般化的数学概念教学规律，即先让学生对一般化情境进行初步感知，然后引领学生从复杂情境中进行剥离和提取，最后通过内化提升，将其升格为具体的概念。

在指导学生认识方程时，教师一般都会以“天平”来建立情境，学生都知道天平的平衡原理，并知道两侧质量的相等关系，由此他们将逐步体会到等式和不等式的关系。在此基础上，学生将从数学的角度出发，结合现实场景提取大量的式子：有等式，也有不等式；有含未知数的，也有不含未知数的。

面对学生整理出的大量实例，教师引导他们形成方程的概念：“含有未知数的等式”。分类的思想在这一过程中显得尤为重要，当然教师不一定直接给出分类的标准，但是一般都会给出这样的启发：“你能将这些式子分成两类吗？”学生自然就会将式子分成等式和不等式，进而将等式划分为含有未知数或不含未知数的。经过两个层次的分类处理，学生就将“含有未知数的等式”从一个相对复杂的背景中提炼出来，方程的具体概念也就浮出水面。

获得概念，并不意味着学生真正地理解概念，教师还要进一步引导学生展开分析和研究：前面的式子哪些是方程，哪些不是，并阐明理由。学生通过实例，将进一步明确方程概念中的两个关键词：“未知数”和“等式”，最终逐步领会由式子到等式，再由等式到方程的关联建构。

2. 在建立概念时指导建模

教师在引导学生认识方程时，要帮助他们建立这样的观念：“等号两侧的内容在数学上应该是等价的”，这就是方程和四则运算的本质差别。比如教师为学生提供一个天平，左边有两个质量为50g的砝码，右边放一个质量为100g的砝码，天平保持平衡，教师让学生围绕这一情境写出一个等式，然后再指导学生观察等式的基本结构，这时教师尤其需要学生关注等式的左边和右边分别代表什么，它们为什么能够构建等式。

教师让学生分析一系列由已知量构成的等式和不等式，将其一边的部分量变化为未知量，并由此组成等式或是不等式，学生会将其联系到天平的模型，教师则提示学生：同样是天平和砝码，为什么有的时候物质的质量可以确定，有的时候却不能确定呢？学生也将由此明确未知和已知之间等量关系的重要性。换言之，这种情况也将促使学生进一步明确方程的基本含义和表达。

知识学习的关键是为了理论的应用，教师在教学中要引导学生用方程来对简单的数量关系进行表述。一般情况下，教师所提供的问题要能起到以下三个方面的作用：一是让学生能够结合自己的生活经验，说明相关情境中存在怎样的等量关系，应该如何将方程建立起来；二是学生将从中体会此类关系的多样性，进而由这一系列多样性演变出不同的方程；三是指导学生从现实意义出发，对诸如“62-x=43”和“62-43=x”等方程展开比较，由此让学生体会到方程与四则运算之间的关系，并指导学生选择合适的方程，最后用方程来解决复杂情形下的实际问题，并且体会隐含在问题情境中的数学模型，逐步形成建模思想。

三、在问题处理中领会方程的建构方法

在指导学生通过方程来完成实际问题的解决时，教师需要在降低学生思维难度的基础上，由复杂问题着手，探求已知与未知之间的关联，引导学生从日常的生活现象中抽象出数学语言，并将其转化为符号语言，这样也就实现了方程的建构。事实上，学生所经历的由日常语言到数学表达，再由此建立方程的过程，正是数学建模思想的体现。在具体教学中，教师要指导学生依次经历以下几个环节。

1.问题表征环节

所谓的“问题表征”，就是学生对问题情境进行分析，将其中所涉及的条件与问题清晰地反映在头脑中。比如问题：“大雁塔高度为64米，其高度比小雁塔的两倍还少了22米，求小雁塔的高度？”教师在指导学生处理问题时，可以引导学生思考：问题中提供了哪些信息，求解什么等，进而组织学生讨论：你能从中发现两座塔高度上的等量关系吗？再比如问题：“一座公园的总占地面积为418公顷，已知水域面积比陆地面积小42公顷，求水域面积和陆地面积各是多少？”在处理的过程中，教师可以指导学生以线段图的形式来表征题中所展示的数量关系，进而引发学生思考：陆地面积和水域面积的等量关系是什么？上述两个问题，教师引导学生采用不同的方法来完成问题表征，包括纯粹的数据分析、数形结合的思想等，这些都是教师在教学中需要强调的。

2. 抽象转换环节

抽象能力是数学思维的重要体现，教师引导学生展开问题表征的目的，也就是希望学生能够更加自如地进行抽象转换，将形象而复杂的情境抽象为数学语言，进而用方程来描写，这就是数学建模的关键步骤。还是以上述大雁塔和小雁塔高度研究为例，教师指导学生描述等量关系时，学生肯定会写出多种数量关系，比如“小雁塔高度×2-大雁塔高度=22”“小雁塔高度×2-22=大雁塔高度”“小雁塔高度×2=22+大雁塔高度”“（22+大雁塔高度）÷2=小雁塔高度”等。这时教师要指导学生展开对比和分析，从中明确等量关系的多样性。教师一方面要尊重学生的思维成果，同时也要指导学生对方法进行比较，从中发现哪些方法比较简捷，哪些方法较为烦琐，比如上述所列答案的最后一项就相对比烦琐，而在实际问题的处理中，教师要提倡学生尽量从简单的层面来完成对问题的分析和处理。

3.方程求解过程

教师在指导学生进行方程求解时，不要将他们的思维圈定在四则运算的逆运算上，而应该指导学生研究等式的特点，从等式性质着手处理和分析，这也能够与学生的初中学习衔接起来。对于简单的一步计算方程，教师要让学生思考对应的处理用到了哪些等式的性质；对于两步或三步才能解决的方程，则应该鼓励学生将其转化为简单的一步計算方程，这样的操作不仅能让学生体会等式性质的作用，也能让学生明确化归思想在数学中的运用。换言之，教师不但要关注学生所求方程解的正确性，更要关注学生对过程的理解和体会。

总之，在小学数学教学中，教师在指导学生掌握方程这项数学工具时，要让学生领会其中隐含的思维方法和数学思想，教师要让学生在实际问题数学化的过程中也能得到建模思想的有效培养。