基于选权迭代法的空间平面拟合

王 继 刚

(江苏科信岩土工程勘察有限公司，江苏 南京 211113)

0 引言

在测量工程实践活动中，例如场地整平施工与验收、工业拟合测量以及建(构)筑物的施工与变形监测等工作中，常常遇到空间平面拟合问题。解决本问题的基本思路是运用全站仪、GPS或其他测量仪器测得空间平面上点的坐标，运用最优准则，例如最小二乘法求得空间平面的参数。测量仪器的进步，使得实时大量获取坐标数据成为可能的同时也带来新问题，即坐标数据中往往会混有一定量的粗差。如何利用混有粗差的观测值，获得可靠的参数估计值，这就是稳健估计研究的问题。稳健估计的原则是要充分观测数据的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不能准确知道观测数据中有效信息所占的比例及它们具体包含在哪些观测中，稳健估计的主要目标着眼是冒损失一些效率风险，去获得较可靠的，具有实际意义的、较有效的估值[1，2]。在测绘生产实践中，最常用的稳健估计方法是选权迭代法，因为该法平差过程与参数平差相一致，只是观测值的权通过迭代得到。通常使用的权函数比较复杂，不利于广大一线测绘工作者理解，影响了稳健估计在生产实际中应用。因此，本文讨论运用具有直观的明显几何意义的点到平面空间距离建立权函数，从而实现选权迭代法求解空间平面拟合参数问题。

1 基本原理

1.1 参数平差

由空间几何学知，空间平面方程可以表述为：

Ax+By+Cz+D=0

(1)

其中,A,B,C和D分别为平面方程的四个参数；(x,y,z)为平面上点的坐标。拟合的目的是通过观测该平面上的三个或三个以上点的坐标，获得该平面的参数。假设观测了n个点的坐标，于是可以列立n个观测方程，第i个方程可以写成：

Axi+Byi+Czi+D=0

(2)

此时注意到式(2)中，独立的参数只有三个，这里不考虑平面经过原点情形，设A≠0可将式(2)改写为：

axi+byi+czi+1=0

(3)

可见式(3)是线性模型，考虑到平面点(xi,yi,zi)观测误差，易得参数平差的误差方程：

vi=axi+byi+czi+1

(4)

写成矩阵表达式为:

V=Bx-L

(5)

在最小二乘准则下，依据参数平差原理，解算式(5)得到[3]:

(6)

1.2 选权迭代法

选权迭代法的本质是在平差过程中使得观测值的权不断变化，经过多次迭代，从而使含有粗差的观测值的权函数为零或接近为零，使其在平差中作用变小，甚至不起作用[2]。其基本步骤如下：

1)列立误差方程，令P为n阶单位阵。

(7)

选取迭代法的核心是定权法则，常用的定权准则有Huber函数、Tukey函数和Hampel函数等[2]，这些方法都涉及到较繁琐的数学理论，不易理解。这里，不妨从几何意义入手来定义权。由解析几何知道，点到平面的距离公式可以表述为:

(8)

这样由第一次估值得每个点到平面的距离，我们知道粗差点到平面的距离相对其他点来说是较大的，取权:

定义:

P(1)=diag(p1,p2,…,pn)

(9)

由式(9)可见含粗差的观测值获得了较小的权，达到选权的目的。

(10)

(11)

2 拟合数据分析

工程实例选取了文献[4]中的数据(如表1所示)，这12点是位于某地铁的一横断面上，用免棱镜的全站仪测得。为了验证本文的理论方法，选取了几种计算方案，首先直接使用表1中的数据，分别运用参数平差和选权迭代法计算平面拟合结果，其次将表1中11号点观测值改为(6.180，22.978，22.144)，模拟观测值中混有粗差，然后再分别使用参数平差和选权迭代法求出拟合平面参数值。这几种解算方案的计算结果见表2。

表1 观测坐标值 m

表2 几种方案的拟合结果

从表2中可以看出，当观测值中无明显粗差时，参数平差拟合与选权拟合得到的结果相差不大，这说明此时，选权迭代法尽管不是最优解，但非常逼近最优解，能保证成果的正常使用；然而当观测值中混有粗差时，参数平差受到粗差污染得到的结果严重偏离正常值，但选权迭代拟合法却能较好的抵抗粗差的影响，得到的结果还是很接近正常值。由此可见，无论观测值中是否有粗差，选权迭代法都能得到较为可靠的结果。这也直接说明本文建立的权函数是正确有效的，符合选权迭代法的要求。

3 结语

本文针对空间平面拟合观测数据中受到粗差污染后仍然采用传统的参数平差，可能导致参数估计精度降低这一问题，不是从复杂的数学理论出发，而是结合空间平面拟合的特点，充分运用了点到空间平面的距离公式，结合粗差点到空间平面的距离明显大于正常观测点的事实，建立了权，实现了运用选权迭代法求解空间平面拟合的参数的方法，从而降低了粗差对参数估计值的影响。

结合实际工程数据表明，本文采用的选权迭代法，能可靠地得到空间参数估值。实际上，即使在没有粗差污染的情况下，本文方法仍然适用，这是由选权迭代的理论决定的。因此，建议测绘工作者考虑使用，以期得到可靠的空间平面拟合参数。

参考文献:

[1] 刘大杰,陶本藻.实用测量数据测量方法[M].北京:测绘出版社,2000:51-58.

[2] 王新洲，陶本藻，邱卫宁，等.高等测量平差[M].北京:测绘出版社,2006:75-79.

[3] 武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].第3版.武汉:武汉大学出版社,2014:112-114.

[4] 潘国荣，陈晓龙.空间圆形物体数据拟合新方法[J].大地测量与地球动力学，2008(2)：92-94.