基于优势关系的多属性群决策方法

林伟华，李进金，吴宇宁

LIN Weihua1，2,LI Jinjin2,WU Yuning1，3

1.福建师范大学 数学与计算机科学学院，福州 350108

2.闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000

3.莆田学院 基础教育学院，福建 莆田 351100

1.College of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou 350108,China

2.College of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China

3.College of Basic Education,Putian University,Putian,Fujian 351100,China

1 引言

多属性群决策是群体决策和多属性决策的一个交叉研究方向，是现代决策理论的重要组成部分，由于具有客观理性、集思广益、可最大程度减少决策中不合理因素等特点，其理论与方法在科技、工程、政治、军事、经济和管理等领域得到广泛应用[1]。因此，多属性群决策问题的相关研究具有重要的现实意义和一定的实用价值。近年来，经过国内外学者的不懈努力，多属性群决策问题取得了一定的发展，目前主要用于解决有限方案中具有多个属性（或评价指标）的排序和优选问题[2-4]。粗糙集理论[5]最早于1982年由波兰科学家Z.Pawlak提出，由于其无需借助任何先验知识，能通过对现在数据的有效分析与推理，揭示数据的潜在规律，在知识发现、模式识别、机器学习、数据挖掘等领域得到广泛应用[6-8]。

由于多属性群决策理论中的决策矩阵描述类同粗糙集中的信息系统描述相类似，故利用粗糙集理论来研究多属性决策问题俨然成为当今决策分析领域中一个新的研究方向。截止目前，基于粗糙集的多属性决策[9-17]主要有排序决策和分级决策这两类。其中，分级决策的主要方法是：在优势粗糙集模型中，提取信息系统中的分级决策规则、并在群决策环境中研究分级规则选择及其融合问题。排序决策主要先利用熵方法与属性重要度的计算求得属性权重，再集结决策矩阵中的判断得到整体方案的排序，这种方法主要用于群决策及多属性决策中排序决策问题解决。通常，在基于粗糙集的多属性群决策排序模型中，都直接集结专家给出的决策判断矩阵得到排序结果，很少考虑其决策属性。然而，在一些实际决策问题中，专家可能既给出每个对象的属性评价值，又对其进行初步分级决策，在这种情况下，最终决策应集结属性评分信息和初步决策信息得出其排序。而这种集结排序的核心就是属性权重的设定，因为在多属性群决策问题中，不同的专家权重或属性权重均会导致不一样的评价结果。

优势关系是粗糙集中用于描述信息系统上优劣关系的一种刻画。在决策问题中，利用优势关系方法获得的规则与利用粗糙集方法获得的决策规则一致，而且用优势关系方法能对所有属性的取值都给出决策结果[18]。在现有的多属性群决策研究模型基础上考虑专家的初步决策，给出一种新的基于优势关系的多属性群决策的模型描述：在信息系统中，先通过计算条件属性和决策属性的优势粒结构相似度，得到条件属性在决策中的重要度，依此确定条件属性在专家评价中所占的权重；再通过计算专家三支决策判断的优势粒结构之间的相似度，得到专家与专家群体之间的共识度（即认可度），选共识度最高的专家为群体评价的代表；最后由专家群体代表与其他专家之间的相似度来确定其他几位专家的权重，具体计算方法在第2章中给出。

2 基于优势关系的多属性群决策方法

为了便于理解，先作粗糙集理论的相关基本概念介绍。

定义1[18]设(K,≤)满足以下性质。

（1）自反性：x≤x(x∈K)；

（2）反对称性：当 x≤y，y≤x时，x=y(x,y∈K)；

（3）传递性：当 x≤y，y≤z时，x≤z(x,y,z∈K)；称(K,≤)为偏序集。若进一步有∀x,y∈K，且 x≤y或x≤y，则(K,≤)是全序集。

定义2[18]设(U,A,F)是连续值信息系统，其中U={x1,x2,…,xn}为对象集，A={a1,a2,…,am}为属性集，F={fl:U→Vl(l≤m)}为对象与属性之间的关系集，Vl为属性al的有限值域。对于任意属性集B⊆A，记，称为连续值信息系统(U,A,F)上的优势关系，(xi,xj)∈表示对象xj在属性集B上优于对象xi。

定义3[18]记，则表示在属性集B条件下，优于对象xi的所有对象集合，称为xi的优势类。

2.1 优势粒结构及其相似度

多属性群决策问题的实质是利用群体专家对评价属性及决策属性给出的评判信息，通过一定方法对待选的方案进行全面分析、合理排序、选择最优及综合评价，以找到一种便捷的排序方法。基于此，本文借鉴粗糙集优势关系与属性联系度等有关知识，将优势关系引入多属性群决策的对象排序问题，并提出了基于优势关系的多属性群决策排序方法。

多属性群决策问题中，为了对各属性进行关系分析，先引入优势粒结构的定义，并研究优势粒结构相似度的定义及其相关性质。

定义4设U={x1,x2,…,xn}为非空论域，≤B为U上的优势关系，定义为论域U在≤B下的优势粒结构。

定义5设U={x1,x2,…,xn}为非空论域，B是U上所有优势关系构成的集合，任意的≤B1,≤B2∈B，是其相应的优势粒结构。定义之间的相似度

式中⊕为集合的对称差运算，为方便，将sim(U/≤B1,U/≤B2)简记为 sim(≤B1,≤B2)。

性质1 任意的≤B1,≤B2∈B，有0≤sim(≤B1,≤B2)≤1。特别的，若≤B1=≤B2，则 sim(≤B1,≤B2)=1。

证明（1）由于≤B1,≤B2具有自反性，所以对∀xi∈U，，因此故

（2）特别的，∀xi∈U ，因为。所以，则，所以

性质2 设U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，≤B1,≤B2∈B ，其中≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xn，≤B2是≤B1的逆关系，即≤B2:xn≤B2xn-1≤B2…≤B2x1，则 sim(≤B1,≤B2)=0。

性质2表明，当两个优势关系完全相反时，它们的相似度达到最小值0。

性质3设，U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，I是U上的恒等关系，E是U上的全域关系，两者均是偏序关系，则sim(I,E)=0。

从优势关系来看，全域关系隐含着U上任意两个对象都是可比较关系，而恒等关系则表示任意两个不同对象都是不可比较关系。由此可以判断，这两种关系的相似度达到最小值0。性质3恰好验证了这一点。

性质 4 设 U={x1,x2,…,xn}(n≥2)，≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xt≤B1xt+1≤B1…≤B1xn，将 xt与 xt+1的位置互换得到≤B2:x1≤B2x2≤B2…≤B2xt+1≤B2xt≤B2…≤B2xn,1 ≤t≤n-1，则sim(≤B1,≤B2)=1-2/n(n-1)(n≥2)。

证明由已知≤B1:x1≤B1x2≤B1…≤B1xt≤B1xt+1≤B1…≤B1xn，≤B2:x1≤B2x2≤B2…≤B2xt+1≤B2xt≤B2…≤B2xn，易得通过计算，得到。而当i≠t,t+1时因此有时。故有

从性质4可以看出，当n值较小，例如当n=2时，交换相邻两个对象位置后，得到这两个优势粒结构的相似度取到最小值0；当n取值较大时，交换相邻对象位置后得到的优势粒结构的相似度比较大。

2.2 权重的确定

2.2.1 属性权重的确定

作为影响决策结果准确性的核心—属性的权重系数反映了属性间的相对重要性，因此属性权重系数的确定成了国内外学者的研究热点，目前研究方法主要有层次分析法、模糊综合评价法和德尔菲法等。在多属性决策问题里，对象在各属性的取值均为有序的，对于数值型的属性取值，取值上的不小于就是一个预序；对于语言值的属性取值，规定的不劣于关系亦是一个优势关系；对于区间型或集值型的属性取值，也可以通过合理定义得到相对应的优势关系[19-20]。

在多属性群决策模型中，设Sk=(U,A⋃{d},fk)为专家ek(k=1,2,…,T)的决策系统，记，对于属性集 A={a1,a2,…,am}，任意的aj∈A，则aj在决策系统S中确定的不劣于关系定义为≤aj={(xi1,xi2)|f(bi1,aj)不劣于 f(bi2,aj)}，d在决策系统S中确定的不劣于关系定义为≤d={(ai1,ai2)|di1≥di2}。如果≤aj同≤d优势粒结构的相似度较小，则属性aj在决策系统中的权重较小，反之则较大。

本文由优势关系诱导出优势粒结构，通过属性之间优势粒结构相似度的大小，得到决策系统中属性权重大小的关系分析，进而得到以下加权方法。

定义6属性aj∈A在系统S中的权重ωj

2.2.2 专家权重的确定

目前对专家权重的设定大多根据专家的专业背景、对决策问题的熟悉程度、知名度、能力水平等因素来确定，或是根据专家间的相互评价结果来确定。在实际问题中，专家决策的可信度除了考虑这些因素外，还应考虑专家个人评价结果与其他专家评价结果的相互关系，这种由专家评价结果的相互关系决定产生的权重是一种客观权重，在实际应用中可单独使用，也可和主观权重结合使用。

考虑专家在决策属性下给出的评判结果，根据拒绝评判决策、延迟评判决策和接受评判决策对象集定义专家评价的相似度，分析专家之间评判结果的关系。

定义7设E={e1,e2,…,eT}为专家群体，根据各个专家给出的决策系统Sk=(U,C⋃{d},fk)，定义专家ek1和ek2评价的相似度为：

定义8[19]设E={e1,e2,…,eT}为专家群体，定义专家ek在群体中的共识程度为：

定义9[19]设E={e1,e2,…,eT}为专家群体，若con(e*)=，则称e*为专家群体中的代表专家。

通过专家间的评价相似度定义各专家在群体中的共识程度，规定群体共识程度最高的专家为代表专家（记为e*），各专家在群体评价中的共识程度用其与专家e*的相似度近似计算，依此定义各专家的权重向量。

定义10专家ek和专家群体评价的共识程度用sim(ek,e*)来近似计算，专家ek的权重ωk[13]设定为：

3 基于优势关系的多属性群决策方法的应用

3.1 实例背景介绍

参照文献[21]表9.4，将专家初评结果整理得到表1，设3位面试专家为ej(j=1,2,3)，10名应聘人员为xi(i=1,2,…,10)，应聘者工作能力3个评价指标（属性）分别为专业能力a1，语言表达能力a2，团队协作能力a3，决策属性d作出粗粒度的三支决策“通过”（记作“2”）、“不通过”（记作“0”）、“延迟决定”（记作“1”）的判断。为简单起见，在计算时分别用{2，1，0}来代替应聘者工作能力3个评价属性a1，a2，a3的语言值{好，中，差}。

表1 某企业招聘面试专家初评结果表

3.2 评价步骤及计算结果

3.2.1 计算属性的权重

同理计算可得：

得到：

由ρd的计算结果可得，综合3位专家的评判结果，3个评价指标（属性）的重要程度依次为专业知识、团队协作能力、语言表达能力。

3.2.2 计算专家的权重

由式（2）计算可得：

因为 con(e1)＞con(e2)，con(e1)＞con(e3)，故选择 e1为3位专家中的代表专家。各专家的权重计算如下：

同理，计算得到：

3.2.3 集结群决策的结果

为方便计算，用{0，1，2}的数值标度，分别代表评价结果{差，中，好}的语言值，先考虑对属性权重进行集结得到表2。

表2 各专家综合评价结果

结合各专家的权重进一步集结，得到：

于是，由最后计算结果得到10名面试人员的综合能力排名为：

式（3）的计算结果与文献[21]中的结论x4＞x8＞x10＞x7＞x6＞x9＞x2＞x3＞x5＞x1基本一致。

4 结论

在现有的多属性群决策模型研究基础上，文章同时考虑评价专家做出的初步决策信息，提出基于粗糙集优势关系的多属性群决策模型，该模型考虑了专家对研究对象做出的粗粒度评价信息，具体表现在：先利用优势关系法描述了专家初步分级决策的信息结构，接着定义了专家初步分级评价的相似度，并依据给出的决策表客观确定了各专家评价的权重；同时，该模型也定义了优势粒结构相似度并研究其相关性质，这种基于优势粒结构相似度的计算方法能够直观性地解释属性的客观权重。最后，通过实例对带有三支决策的专家评价方案进行数据处理，分别得到面试者工作能力各个评价指标（属性）和面试专家的权重分配，对其进行集结得到的最终评价结果与文献[21]的结论基本一致，这也说明了该方法的可行性与有效性。与文献[21]中基于粗糙集的细粒度决策模型相比较，文章建立的基于优势关系的粗粒度多属性群决策方法起到异曲同工之效，但其在计算过程上相对简洁，这为今后建立多粒度决策模型粒度粗细的选择提供了一定的参考价值。由于篇幅有限，在后续研究中，将进一步考虑该方法在一些真实数据上的实验操作，并对实验结果做出详细的分析。

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