非线性非最小相位船舶舵减摇系统的滑模控制

王世凯，金鸿章

WANG Shikai1，2,JIN Hongzhang1

1.哈尔滨工程大学 自动化学院,哈尔滨 150001

2.哈尔滨师范大学 数学科学学院,哈尔滨 150025

1.College ofAutomation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

2.School of Mathematical,Harbin Normal University,Harbin 150025,China

1 引言

船舶在海上航行时易受到风、浪等环境干扰的影响，致使产生航向偏移和运动位置的摇摆，大大影响船舶的工作效率和运行的平稳性。方向舵不仅能够提供艏摇力矩，而且能够产生横摇力矩[1]。如果能够合理地利用舵产生的横摇力矩，则在控制船舶航向的同时，同时获得减摇的效果[2-4]。且与传统的减摇设备相比，舵减摇具有投资小，占用空间少，减摇效果好，生成的水下噪声小等诸多特点。

我国在舵减摇控制方面的研究始于20世纪80年代。费乃振等使用遥控自航船模在纯横浪条件下进行舵减摇研究，设计出抗扰性能较好的鲁棒控制器[5]。哈尔滨工程大学的刘胜等将考虑舵机对舵角和舵速的限制作用，设计了基于正实思想的舵减摇鲁棒控制系统，解决了模型对象摄动时的减摇效果[6-8]。彭秀艳等基于并行分布补偿原理和T-S模糊模型逼近方法设计了舵减摇的状态反馈控制器，并将该控制器应用于某型实船试验中，获得较好的控制效果[9]。宋立忠等依据船舶状态空间模型，基于模糊神经网络设计分离型的舵鳍联合减摇综合控制器，提高了减摇系统的鲁棒性和稳定性[10]。

通过上述文献的综合分析可以看出，目前大部分控制系统对外部干扰抑制不够强，且未考虑减摇装置自身的非线性特性，致使减摇率不够高。本文从模型角度出发利用非线性控制理论分析船舶舵减摇系统的非最小相位特性，然后结合反馈线性化和非线性滑模控制方法给出同步进行减摇和航向控制的控制器设计策略，较好地抑制了海浪干扰对船舶控制系统的影响，大大提高了舵减摇系统的鲁棒性和稳定性。

2 船舶动力特征分析与模模建立

船舶的动力特性是状态和输入的非线性微分方程。通常设计的舵减摇控制系统是将状态和输入线性化[11]。本文研究状态为非线性的船舶动力学方程，具体建立过程如下。

2.1 船舶模型

非线性的单输入单输出船舶模型如下：

其中x′∈IR5是状态，b∈IR是舵角，y∈IR是艏摇角量度，wH∈IR 用来描述一阶波的扰动，b∗和 f′∗(x′)用来描述船舶动力学。在式（1）中的状态变量可以做如下定义：

其中φ是横摇角，p是横摇的角速度，v是横荡速度，r是艏摇角速度，ψ是艏摇角。为了获得期望的平衡点xd=0的船舶模型，状态变量需要做如下修正且要满足：

其中rd是期望的艏摇角速度，ψd是期望的艏摇角。因此控制算法应该满足。事实上式（1）中的非线性部分可以分成一个线性部分和一个非线性部分，通过调整式（3）中的状态参数可以获得如下的船舶动力学方程：

2.2 改进的船舶模型

式（4）描述的船舶动力学方程通常是未知的非线性函数，为了方便控制器的设计对动力学方程做如下近似：

通过对式（4）的变形可以获得如下的船舶动力学方程：

对建模误差Δx(x)和Δu做如下定义：

建模误差取决于估计的准确性，线性估计A和b通常近似于真实值。

2.3 数学基础知识

为了分析船舶模型中的非线性运动方程，引入Z=Φ(x)这一变换。为了寻找合适的变换作如下的数学定义。

定义1关于函数h(x)的梯度向量d：

定义2沿着向量区域的λ(x)函数的导数为 f(x)：

其中Lfλ(x)称为李导数。具有如下的递归性：

在定义2的基础上，定义了非线性系统的相对阶。

定义3一类非线性系统可以看成如下形式[12-13]：

其中的相对阶r满足：

引理1通常选择φr+1(x),…,φn(x)，此时梯度向量要逐一线性化且需满足

2.4 标准型

通过如下变换，船舶模型方程式（4）可以化成更为简单的形式：

根据引理1，这种变换形式为：

且变换后动力学方程变为：

进一步为：

引入逆变换x=φ-1(z)且将其应用于满足标准形式的方程式（12）中去：

为了简化数量级，分别用二个和三个状态变量将系统式（13）改写成两个子系统。定义ξ=[z1,z2]T和η=[z3,z4,z5]T，因此有：

且式（13）可以表示为：

2.5 零动态

由标准型。选择u=-a(0,η)/b(0,η)后得到关于ξ=0的系统式（15）的零输出y=0，因此η动力学方程为：

这就是简化后的系统零输入模型。如果零动力学不稳定，系统式（5）就叫做非线性非最小相位系统[14-15]。从式（15）或式（17）可以验证零动力学是单独的输入，且不会因为反馈而改变。因此如果零动力学不稳定，就达不到完全跟踪而变为渐进跟踪[16]。所有船舶的横摇都显示了一种非最小相位的特性，而艏摇是最小相位。这就表示通过输入u和输出y=cT(x)所给出的零动力学模型是不稳定的。因此在横摇中就不可以使用反馈线性化的方法，而系统的逆动力学方程也将变得不稳定。

基于上述分析本文提出一种可以应用于非最小相位系统的非线性舵减摇控制律。该控制器建立在定理1和假设1的基础之上。

定理1令η=0为非线性系统的一个平衡点

其中η:D→IRn是连续可微的，D是原点的邻域，令

则：（1）对于 Q∗的所有特征值来说，如果 Re(λi)＜0 则系统渐进稳定；（2）如果Q*的一个或者多个特征值满足Re(λi)＞0 则系统不稳定。

现在假设q∗(0,η)是船舶动力学的零动态，且q(0,η)是零动态估计，则有假设1：

3 一类非最小相位舵减摇和航向保持的控制器设计

船舶是输入为舵角，输出为横摇角的非最小相位系统。这可以从船舶动力学标准型看出，因此考虑如下的船舶动力学方程：

通过变换：

得到标准型：

则有：

能够证明其零动态方程

是不稳定的。为了克服上述问题，应用滑模控制设计如下。

3.1 横摇滑模面

定义一个滑模面：

其中α＞0，将滑模面作为输出，船舶模型可以改写为：

控制目标是调整σ到0且φ=p=0。容易验证式（25）的相对阶为1。 定义一个新的向量：

则满足：

则式（15）可以变为：

其中：

然而这一问题可以通过调整滑模面得到解决。如图1所示给出了非线性滑模控制的航向保持器系统框图。

图1 非最小相位横摇稳定与航向保持系统控制器

3.2 横摇和艏摇的复合滑模面

改进后的滑模面为：

其中k=[k1,k2,k3,k4]T，因此改进后的σ和η的系统如下：

在假设1的条件下式（37）中的零动态是稳定的，σ正则性保证了并且方程（34）表明，因此：

这样讨论上述内动态系统的有界性，使得问题变得简单。

3.3 非线性控制器设计

为了得到期望的σ动力学（当t→0时σ→0），设计如下控制器：

其中 kσ是反馈增益，kη是前馈增益向量，k(σ,η)(σ,η)是反馈线性化项，μ＞0是切换增益，φ＞0是边界层参数。这三种增益在2.4节的稳定性证明中都已经给出，此时边界层参数是为了减少期望的舵时间导数的最大值的一组设计参数。

3.4 稳定性证明

假设输入增益向量b很小时的建模误差为：

零动态式（37）是稳定的且与δ无关，则如果在有限的时间里 η→0能够获得 σ=0，因此在控制器式（40）下，式（35）和（36）和船舶模型式（5）的稳定性可以用下面的李亚普诺夫函数来证明：

将控制器代入，有：

其中γ≥0，这种控制器参数的选择表明：

最后选择相应的切换增益μ且满足：

一个关于时间的负半定导数的李亚普诺夫函数V(σ)就被确定如下：

则方程式（39）

4 仿真实验

选择某多功能海军运输船为研究的仿真对象。本文仿真3级海情下的海浪干扰，有义波高4 m，遭遇角45°，舵角变化率限制在 20（°/s），舵角限幅为±30°。在考虑节约舵机能量的作用下，设计滑模控制器参数如下所示：

图2～图5的横轴均表示仿真时间，单位为s。

图2 滑模控制器不工作时的横摇角

图3 滑模控制器工作时的横摇角

图4 PID控制器工作时的横摇角

图5 滑模控制器工作时输出的舵角变化曲线

海浪对船舶干扰力和力矩的仿真计算采用切片理论。通常用减摇率来表示阻摇控制效果，本文所设计的控制系统在前文所述海情中的减摇率为42%，在同等条件下，为验证本文控制方法的优越性，选择用试凑法设计的PID控制器进行对比，得出的减摇率为34%。可见，采用非线性滑模模型所设计的舵减摇控制器能够有效地减小横摇，同时航向角在+20°之间变化，可以获得更为稳定的航行效果，符合实际工程设计的需求。

5 结束语

本文所设计的舵减摇系统的非线性滑模控制器能够有效地抑制海浪的干扰，优于常规的PID控制方法，具有良好的鲁棒性。由于舵减摇和鳍减摇各有所长，它们的减摇机理也很近似，将本文的研究方法应用于减摇鳍或者舵鳍联合减摇，值得在今后的工作中继续深入研究。

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