分离函数法在解题中的应用

曾建强

江西省萍乡市教研室 (337000)

解决形如F(x,a)类问题，通常利用分离参数法，将原式变形为变量与参数各在一边的f(x)≥a或f(x)≥g(a)等形式，从而求解，已为熟知的解题通法．而有一些含参数的问题其参数a不能从解析式F(x,a)中分离出来，或F(x,a)中常为含两个超越函数的关系，解决时由于不同类超越函数不便变形化简研究性质，可尝试用分离函数的方法来处理．

所谓分离函数法，是指将同一关系F(x,a)中的两类不同函数(尤其是两不同超越函数)分离开来或把问题分离成f(x),g(x,a)(或f(x,a),g(x,a))两类关系来分别处理的方法．分离函数法，主要是利用分离后的两函数的最值性质来解．

分离函数方法是高中数学中“新兴”的一种解题方法，这里举几例以飨读者．

一、不同变元的分离函数

对一个关系式中有两不同变元，由于两变元的独立性，故分离出不同变元的两函数进行研究势在必行．

二、单式中的分离函数

对一个变量的问题，往往容易从单式的整体着手研究，但将单式分离成两个不同函数分别研究，这种思路比较隐蔽，却也是一法．

例2 证明：x∈R，a≤1时，xex+a+x2-2x+1>0．

分析：将不等式左边看成是一个函数，至少要求二阶导数才有可能确定它的值域，事实上仍很困难．如果将一个函数分离成两个函数，突破f(x)=xex+a求导产生的难点，也是处理问题的一策．这种化整体为多个体的策略，有时还很奏效．

证明：要证原式，通过分离函数，即证xex+a>-(x-1)2．①

当x>0时，xex+a>0,-(x-1)2≤0,显然①式成立．

当x≤0时，f(x)=xex+a的导数f′(x)=(x+1)ex+a，易得f(x)min=f(-1)=-ea-1．

而g(x)=-(x-1)2(x≤0)的最大值为g(0)=-1．

由于a≤1，有ea-1≤1，且两函数不在同一处取到最值，故x≤0时xex+a>-(x-1)2．

综上，原不等式成立．

三、不同两类基本函数的分离

含不同两类基本函数相对较复杂，且常是不同类超越函数的复合函数，就是利用导数这个有力的工具，有时也难避免由于导数的复杂性使得求解中途受阻.化繁为简是我们常用的思路，尤其对两个超越函数的混合型函数更加突出，分离函数就显得尤为重要．

(Ⅰ)求a,b；(a=1,b=2解略．)

(Ⅱ)证明：f(x)>1.

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

四、重组后的分离函数

对一些问题，表面看两个函数已明显地分离开来了，但分别独立研究却难达目的，此时，我们对问题中的函数重组后分离成比较单一的同名复合函数，这对研究更加有利．

(Ⅱ)若0≤x≤1，f(x)

(2)s′(x)=xe2x-e2x-axex+aex=ex(x-1)(ex-a)．∵x∈[0,1]，∴x-1≤0,ex∈[1,e]．

②若10，此时s(x)为增函数；在(lna,1]上s′(x)<0，此时s(x)为减函数．

五、分离参数后的分离函数

研究含参数的问题，分离参数是常法．分离参数后的函数也可以再通过分离函数去求解．这种方法也可称为双分离法．

v′(x)=e3x-2e2x-ex+2=(e2x-1)(ex-2)，当x<0,x>ln2时，v′(x)>0，

∴v(x)在(ln2,ln3)上为增函数,在(0,ln2)上为减函数．

分离函数法，较适合不同类超越函数基本性质的研究．理论上讲，若分离后的两类函数在一定范围内的上确界、下确界存在明显的分界点，用分离这两类函数分别运算求解，常能奏效．