粗糙集导出空间中的局部强连通性

钟满田

(罗定职业技术学院教育系，广东 罗定 527200)

1982年首次提出关于粗糙集的概念[1]。自从1992年以来，国际上许多重要学术会议和研讨班也把粗糙集理论的研究列入会议和讨论班的主要内容之一，都极大地促进了该理论的发展及其在各个领域中的应用。在国内，从2001年开始每年将举办粗糙集与软计算学术会议。粗糙集发展三十多年来，无论是理论研究还是应用研究都取得了很多优秀成果，如粗糙集的近似及相关的数据分析和推理方法与算法、基于数据等价关系的数据分析方法、对象不可分辨性、属性冗余性、属性约减等[2-6]。此外，还有关于粗糙集的交、并、补是满足幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律等条件的分配格；粗糙集具有最大元与最小元、复原律、对偶律的、完成的、可无限分配的软代数，但不是优软代数，也不是布尔代数；关于粗糙集理论的KDD系统已经建立，其中最具有代表性的有KDD-R(基于可变精度粗糙集扩展模型的KDD工具)、LERS(基于粗糙集实例学习系统)、Rosetta(基于粗糙集决策分析系统)等。综合国内外的研究成果，对粗糙集理论与应用研究主要概述为六大方面：一是数据预处理机制的研究；二是运用启发信息来简化计算的约简算法研究；三是粗糙集代数、粗糙集拓扑及其性质、粗糙逻辑等方面的研究；四是决策粗糙集模型与其他数据挖掘方法结合问题研究；五是大数据集问题的研究；六是决策规则获取问题研究。本文以Pawlak粗糙集与拓扑空间的关系为研究背景，重点研究Pawlak粗糙集导出空间的一些拓扑特征。

1 Pawlak粗糙集与拓扑空间的关系

性质1[7]1 314假设有限集U的一个等价关系为R，U的任意一个非空子集为X，则式(1)～(7)是成立的。

由性质1中的式(1)、 (2)、 (3)、 (7)可知，

性质2[7]1 314在等价关系R导出的拓扑空间(U，TR)中，存在B={[X]R∶x∈U}是(U，TR)的一个基，并且TR的所有集合既是开集又是闭集。

性质3[7]1 314等价关系R导出的拓扑空间(U，TR)既正则又正规。

性质4[7]1 314等价关系R导出的拓扑空间(U，TR)是Huasdorff空间的充分必要条件是[x]R={x}。

性质5[7]1 314等价关系R导出的拓扑空间(U，TR)是T1空间的充要条件是[x]R={x}。

性质6[7]1 314等价关系R导出的拓扑空间(U，TR)是连通的充要条件是R为U×U。

性质7[7]1 314如果(U，TR)是一个拓扑空间，满足是开的划分的条件并且该划分是一个基，那么一定存在一个等价关系R使得(U，TR)=(U，T)成立。

证明先定义U上的一个关系R∶xRy⟺bl{x}=bl{y}。在这里记bl{x}是{x}的闭包。很明显R是U上一个等价关系，且[x]R=bl{x}，从而有(U，TR)=(U，T)等式成立。

综上，由性质2～性质7可以知道，Pawlak粗糙集导出空间(U，TR)等价于一类特殊的拓扑空间。

2 导出空间的局部强连通性

定义1[8-10]设Z是一个等价关系R导出的拓扑空间。若Z不是两个非空互不相交闭集的并，那么称Z是连通的。若不存在任何基数m(2≤m≤m0，其中m0是有理数集的基数)，满足Z是m个非空且互不相交闭集的并，那么就称Z是强连通的。

定义2[11-14]设Z是一个等价关系R导出的拓扑空间。若∀z∈Z以及Z中每一个包含z的开集W，都存在一个具有强连通性的开集V满足条件z∈V⊆W，那么称Z是一个导出的局部强连通拓扑空间。易见导出的局部强连通拓扑空间及其间的连续映射构成一个范畴，记作LXFC。

2.1 等价性

定理1假设(Z，T)是一个等价关系R导出的拓扑空间，那么下面三个命题(1)、(2)、(3)等价，并且还可以得到推论1。

1)Z是局部强连通的；2)Z的每一个开子空间的每个强连通分支均是开集；3)(T，⊆)至少有一个由具有强连通性开集组成的并生成集。

推论1 局部强连通拓扑空间具有强连通性，它的任一强连通分支均既是开集又是闭集，因而每个导出的局部强连通拓扑空间Z，都可以分解为Z的强连通分支的直和。

2.2 开遗传性及连续性

定理21)导出的拓扑空间局部强连通性是开遗传的。

2)导出的局部强连通拓扑空间在连续开满射下的像还是局部强连通拓扑空间。

证明1)设Z是局部强连通空间，Z的开子集A⊆Z。Z的由强连通性开集组成的并生成集为B。由拓扑学知识理论易知，具有强连通性开集族BA={B*∈B|B*⊆A}是A的其中一个并生成的开集。因此，A就是一个局部强连通空间。

2.3 直和性

证明1)必要性 因为Zj是Z的开集，所以由定理2的(1)可知Zj是导出的局部强连通空间(∀j∈J)。

2.4 范畴性

定理4导出的局部强连通拓扑空间及其间的连续映射构成的范畴LXFC具有下面性质：

1)对于每一个集合Z、每一个LXFC-对象族{Zj，Tj}j∈J、每一个映像族{fj：Zj→Z}j∈J，Z上存在唯一个局部强连通导出的拓扑TZ，使得它(即终结构)满足(条件1)对于∀LXFC-对象族(Y，{T}Y)及其任一映射g：Z→Y，g： (Z，TZ)→(Y，TY)是一个LXFC-态射的充分必要条件是g∘fj：(Zj，Tj)→(Y，TY)是一个LXFC-态射(∀j∈J)。

2)对于每一个集合Z、每一个LXFC-对象族{Zj，Tj}j∈J、每一个映像族{fj：Z→Zj}j∈J，Z上存在唯一个局部强连通导出的拓扑TZ，使得它(即始结构)满足(条件2)对于∀LXFC-对象族(Y，{T}Y)及其任一映射g：Y→Z，g：(Y，TY)→(Z，TZ)是一个LXFC-态射的充分必要条件是fj∘g：(Y，TY)→(Zj，Tj)是一个LXFC-态射(∀j∈J)。

3 结论

1)粗糙集导出的拓扑空间局部强连通、每一个开的子空间的每个强连通分支均是开集、有一个由强连通性开集组成的并生成集具有等价性。

2)粗糙集导出的局部强连通拓扑空间具有开遗传性和连续不变性。

3)粗糙集导出的局部强连通拓扑空间族具有直和性。

4)粗糙集导出的局部强连通拓扑空间和连续映射构成范畴具有态射性质。

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