低信噪比下多相码信号参数估计*

刘歌，张旭洲，汪洪艳

(空军航空大学 信息对抗系，吉林 长春 130022)

0 引言

在现代电子战争中，为了提高雷达的生存能力，越来越多的雷达系统采用低截获概率(LPI,low probability of intercept)信号。在低截获概率雷达信号中，多相码信号由于兼具相位编码和频率调制的优良特性[1]，而得到广泛的应用。因此如何对多相码信号进行有效的参数估计成为研究的重点。

由于多相码信号由线性调频信号(LFM,linear frequency modulation)衍生而来，有着与LFM相似的时频特征，且LFM信号在时频域已有较为成熟的分析方法，因此对多相码信号参数估计常用的方法一般是基于信号的时频特征。文献[2-3]提出基于RWT的多相码信号检测和参数估计方法；文献[4-6]利用RAT及其改进算法实现了多相码信号的检测与参数估计。但是这2种方法将信号的能量分散在时频平面的各个峰值上，导致估计精度降低，且计算量较大，Radon变换的存在使信号的估计精度受旋转角度分辨率的影响。

为了解决上述问题，本文提出了基于积分二次相位函数(IQPF)和分数阶傅里叶变换(FrFT)的联合参数估计算法对多相码信号进行参数估计。首先通过公式推导在理论上证明了IQPF具有将多相码信号的多条脊线累积为一个峰值的优良性能，通过峰值将多相码信号的调频率估计出来，然后利用估计出的调频率计算FrFT的最佳旋转阶次，将多相码信号的FrFT分布由二维搜索转换为一维搜索，实现其他参数的估计。仿真实验验证了公式推导结果，并且证明了该方法的有效性。

1 信号模型

多相码信号的表达式[7]为

s(n) =Aej(2πf0n+φk),0≤n≤N-1，

(1)

式中：A为信号幅度；f0为信号载频；N为采样点数；φk为随时间变化的相位码序列，不同的序列代表不同的多相码信号类型。多相码信号主要包括Frank，P1，P2，P3，P4码，具体表达式参见表1[1]。

表1 多相码信号的相位调制

图1是对多相码信号的进行WVD变换的时频图(以P4码为例，其他码型时频图类似)。从图中可以看出，多相码信号在时频平面上表现为多条平行的脊线，并且这些脊线的能量呈现出从主脊线向副脊线逐渐减小的趋势。

多相码信号调制参数包括：调频率k，信号的码元宽度Tc，信号带宽B，它们可以通过图中脊线与时间轴的夹角α0，脊线间隔为d以及脊线与频率轴的截距fd计算出来：

(2)

2 算法原理

2.1 IQPF原理

信号s(t)的IQPF是对传统二次相位函数模值平方的积分，其表达式[8]为

(3)

式中:l=min(n,N-1-n)。

由图1中分析可知，多相码信号在时频平面内可以简单地看作是由数条平行的线性调频(LFM)信号组成，且多相码信号很难用一个确定的公式表达[9]，因此为了更加直观地通过公式推导从理论上证明IQPF的性能，本文在公式推导中采用多条调频率相同、起始频率不同的线性调频信号进行代替。

单分量LFM信号的解析表达式[10]为

(4)

式中：ω为角频率；k为调频率。

所以，多分量LFM信号的表达式为

(5)

式中：z为多分量LFM信号的分量数。

不失一般性，先对两分量LFM信号进行分析，将其表达式代入式(3)中可以得到

s2(n+m)][s1(n-m)+

(6)

式中:

(7)

(8)

将式(7)和式(8)代入式(6)中展开计算，得到结果如下:

(9)

式中:

(10)

(11)

(12)

W=ej[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m+e-j[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m.

(13)

由于多相码信号各脊线的调频率相同，因此将上述两分量的LFM信号的调频率设置为相等，即k1=k2=k，所以式(9)可以进一步简化为

(14)

式中:H=G(ej(ω1-ω2)m+e-j(ω1-ω2)m)。

对式(14)进行分析，当满足u=k时，两分量LFM信号的IQPFx(u)达到最大值。u≠k的其他点处IQPFx(u)的值都比较小，此时IQPF平面上在点u=k处出现一个峰值，如图2所示，其中一分量LFM的归一化起始频率为0.1，终止频率为0.2，另一分量LFM的起始频率为0.2，终止频率为0.3，采样点数为1 024。

当信号由多个调频率相同的LFM分量构成时，同样可以通过理论推导得出相同的结论。类比多相码信号，IQPF同样也可以将多相码信号的多条脊线能量累积到一个峰值上，如图3所示。峰值的累积能够产生抑制噪声的效果，且通过搜索该峰值的位置，可以有效地将LFM信号的调频率估计出来。其中，仿真信号是P1码，归一化载频为0.25，采样点数为1 024，码元宽度为64。

2.2 FrFT原理

FrFT可以看作时频平面的旋转算子，因此它适合于处理LFM类信号。作为广义的傅里叶变换的一种形式，信号s(t)的FrFT可以表示为[11]

(15)

Kp(t,u)=

(16)

式中:Kp(t,u)为变换核函数，p为变换阶数；α为旋转角度，且满足α=pπ/2。

FrFT一般被应用到处理LFM信号及类似LFM的信号(如多相码信号、线性调频连续波信号等)一类信号中[12]，是因为这些类似LFM信号的FrFT分布旋转到一定角度时会在相应的投影平面呈现出冲击峰值。

多相码信号的时频图是数条调频率相同的平行直线，所以多相码信号的FrFT分布在最佳旋转角处对应的投影平面上会出现多个冲击峰值，且各峰值之间的横坐标间隔相同[13]。如图4所示，由于多相码信号码型存在差异，多相码信号的FrFT需要分2种情况进行讨论：一种是P1/P2/P4码只有一条主脊线，在FrFT投影平面上只有一个最大峰值；另一种是Frank/P3码有2条主脊线，在FrFT投影平面上有2个近似相等的峰值。

搜索主脊线的位置可以估计出多相码信号的载频，利用图中的脊线间隔可以通过公式变换将剩余的参数估计出来。为了实现参数的快速估计，本文采用文献[14]中的分解型快速算法计算FrFT。

3 基于IQPF和FrFT的多相码参数估计算法

综上分析，本文提出利用IQPF和FrFT联合算法对多相码信号进行参数估计。具体算法步骤如下：

(17)

式中：α为最佳旋转角。

(3) 计算出信号最佳旋转阶次p下的FrFT分布，搜索平面内的最大值h1和次大值h2，求出它们的比值λ1=h1/h2，并记录它们对应的横坐标a1和a2。若λ1>0.5，说明此时多相码信号只有一条主脊线，即信号载频对应的横坐标a0=a1；若λ1<0.5，说明此时多相码信号有2条主脊线，即信号载频对应的横坐标a0=(a1+a2)/2。根据式(18)可以估计出多相码信号的载频为

(18)

(19)

式中:ΔF和ΔT分别为频率轴和时间轴的量化单位，且ΔF=fs/N,ΔT=1/fs(fs为采样频率，N为采样点数)。

4 性能分析及仿真实验

4.1 性能分析

(1) 对比分析

以RWT为例，RAT与之情况类似，如图5所示，RWT，RAT 2种方法在处理多相码信号，会产生多个峰值，使信号的能量分散到各个峰值上，在信噪比为10 dB时，各峰值明显，参数估计可以正常进行；但是在信噪比为-5 dB，RWT,RAT都产生一个较高的噪声基底，将较小的峰值淹没，无法准确地估计出多相码信号的参数。

如图6所示(以RWT为例，RAT与之情况类似)，6a)中采用的角度分辨率为1/180 πrad，6b)采用的角度分辨率为1/18 πrad。从图中可以看出，由于采用Radon变换，因此这2种方法参数估计的精度还会受到旋转角分辨率的影响。角度分辨率越高，估计精度越高，但计算量会增大；虽然角度分辨率降低，计算量会降低，但时频平面中的尖峰会变得模糊，导致估计值不准确；这个问题在IQPF方法中是不存在的。因此，IQPF在估计多相码信号的调频率问题上具有优良的性能。

(2) 计算量分析

当信号点数为N，旋转角度的个数为M时，采用RWT和RAT实现参数估计总体需要的运算量均为O(N2M)[15]。若只估计信号的调频率，RAT只对过原点的脊线进行积分即可，使得RAT比RWT计算量小，但是因为要对多相码信号的其他参数(如脊线间隔)进行估计，就必须对其他脊线也进行积分，所以两者的计算量相当。

本文算法是在IQPF之后进行一次已知旋转阶次的FrFT。由文献[3]可知，IQPF的计算公式比WVD和AF的计算公式多N次加法和乘法，这几种方法实质上都可以看作自相关之后进行傅里叶变换，计算量为O(N2lbN)，而已知旋转阶次的FrFT的计算量仅相当于一次N点的FFT，计算量为O(NlbN)，所以本文算法计算量小于RWT和RAT。

4.2 仿真实验

为了验证本文参数估计算法的有效性，对5种码型的多相码信号进行仿真实验。仿真信号的参数设置如下：

码元宽度tb为0.1 μs，重复周期T为6.4 μs，编码位数Nc为64，信号载频fc=25 MHz，采样频率fs=100 MHz。RWT和RAT的角度分辨率取为1/180 πrad。噪声采用高斯白噪声，且信噪比范围设置为-15～6 dB，每2 dB的信噪比作100次Monte Carlo仿真实验。

(1) 不同方法参数估计性能比较

以P4码为例，分别利用本文方法、RWT和RAT 3种方法估计出调频率k、码元宽度tb和重复周期T，并作3种方法估计参数的均方根误差(RMSE)与信噪比之间的关系图，如图7～9所示。

由图7～9分析可知，本文使用的参数估计方法在低信噪比的条件下较RWT和RAT参数估计方法的性能高。这是因为本文算法中的IQPF可以将多相码信号的所有脊线累积到一个峰值上，从而达到累积信号能量、抑制噪声和提高调频率估计精度的效果，而RWT和RAT2种方法不能将脊线累积到一个峰值上，导致信号能量分散，低信噪比的条件下平面内的峰值容易被噪声淹没，降低了估计精度，影响了算法的整体性能。而且本文方法不需要进行坐标变换，仅需进行一维搜索。所以本文的方法不仅具有较好的估计性能且在计算量方面存在优势。

(2) 不同码型的多相码信号间的性能比较

利用本文方法对不同码型的多相码信号估计载频、码元宽度和重复周期的RMSE与SNR的关系如图10～12所示。

从图10中可以看出，5种码型的多相码信号的载频估计的RMSE可以达到-55 dB以下；具体来看，在信噪比为-10～0 dB时，Frank/P3码的载频估计的RMSE比另外3种码型高约5～10 dB，这是因为Frank/P3码经过FrFT之后产生2个近似相等的最大值和次大值，导致单个峰值的幅度下降，从而使其抗噪性变差。

图11和图12是对5种码型的多相码信号的码元宽度和重复周期的估计性能进行比较。整体来看，5种码型的的码元宽度和重复周期估计性能相差不大；具体来看，在信噪比大于-10 dB小于0 dB时，Frank/P3码的参数估计的RMSE比另3种码型低约5～10 dB，这是因为这2种码型的多相码信号经过FrFT之后的次大值比其他3种码型得到的次大值要大得多，低信噪比下不易被噪声淹没，能够更好的估计脊线间隔，从而得到高精度的码元宽度和重复周期。

5 结束语

本文利用多相码信号与LFM信号具有类似时频特征的特点，提出基于IQPF和FrFT的多相码信号联合参数估计方法。理论上证明了IQPF可以将多相码信号的多条脊线累积为一个峰值，并利用IQPF估计信号的调频率，将FrFT的二维搜索中转化为一维搜索，估计信号的其他参数。联合参数估计方法的抗噪性能较强，且计算复杂度较低，估计精度不受角度分辨率的影响，克服了传统方法本身固有的缺陷。仿真实验表明，在低信噪比的条件下，联合参数估计方法的估计性能优于RAT和RWT 2种传统方法。为低信噪比下对多相码信号的参数估计提供了一种可靠的方法。

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