北斗三频载波相位组合与相对定位研究

丁磊 钟斌 禹强华 丁然

摘要：通过分析北斗二代一期三频载波相位观测量间误差的相关性，提出基于解算不定方程求解特定波长和电离层延迟下噪声最优的线性组合系数；分析了不同类型组合观测量的误差特性，鉴于由不同原始载波相位观测量组成的各种线性组合在模糊度解算、电离层延迟修正等方面的优势，选择了三组宽巷组合作为中长基线模糊度解算的推荐方案。在此基础上，利用北斗三频接收机进行了4次40km范围内的静态基线相对定位试验，分析了北斗三频组合观测在中长基线情况下模糊度固定的效率和相对定位的精度。结果表明，推荐的三组宽巷组合方案至多需要5次测量即可准确固定模糊度；在lOkm范围内采用北斗单频测量的相对定位精度与采用三频组合测量的精度相当；超过20km之后采用北斗多频消电离层组合的相对定位精度明显高于单频测量，最多能够提高71. 4%。

关键词：北斗二代；三频；组合观测值；相对定位；整周模糊度

中图分类号：P228

文献标识码：A

DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2018.01.012

十多年來，中国一直致力于开发完全自主的卫星导航系统。应用载波相位测量进行相对定位，快速高效地在相应的模糊度域内搜索整周模糊度是模糊度空间搜索的目标。在观测时间较短或基线较长（大于20km）的情况下，单频双差模糊度的搜索往往存在计算时间过长、需要处理很多的极值等问题。而带来这些问题的重要原因是由于单频载波的波长较短、载波测量受电离层延迟影响较大等。利用全球卫星导航系统（GNSS）多频载波相位观测量间误差的相关性，构造多频载波相位观测量的线性组合，形成具有长波长、弱电离层延迟影响以及小噪声等优良特性的载波相位组合观测量，可以提高整周模糊度解算的成功率。

近年来，多频载波相位组合观测量寻优方法的研究多是基于GPS系统开展。常青、韩绍伟系统地介绍了GPS双频组合观测量的定义及误差特性，并利用GPS双频相位组合观测量来提高模糊度函数法的计算效率和可靠性。Cocard系统地介绍了GPS三频载波相位线性组合系数的寻优方法，推导出线性组合系数集使用条件。Richert提出了基于载波相位组合观测量的协方差矩阵的三频GNSS观测量的误差特性，给出了组合系数寻优的准则，并利用仿真的GPS三频数据对不同的线性组合进行了比较。在北斗三频组合观测方面，李金龙提出了基于函数极值法求解特定波长和电离层延迟下噪声最优的北斗三频载波相位线性组合系数，重点关注三频组合系数的总和对组合特性的影响，没有具体分析单一频率系数的变化对组合特性的影响。

对于北斗系统的定位、导航和授时服务的精度问题也一直是国内外学者密切关注的热点话题。Shl利用北斗实测数据进行了实时单点定位和相对定位，在436m静态基线条件下基于载波相位的相对定位精度达到了4cm。2hang仿真分析了未来的北斗全系统的可见性和定位精度因子以及模糊度精度因子。Montenbruck实现了在国外第一次利用北斗进行精密单点定位和相对定位，分析了北斗卫星的轨道精度、时钟和信号特性，8m静态基线的相对定位精度达到9mm。

本文首先在建立北斗三频载波相位的线性组合方程的基础上，分析北斗三频线性组合观测量的误差特征，提出基于解算不定方程求解特定波长和电离层延迟下的噪声最优的线性组合系数的方法；通过优化筛选给出三组建议使用的组合系数，并用多组中长基线试验数据验证组合的有效性，最后分析各种组合的优劣，讨论北斗三频窄巷消电离层组合进行相对定位的精度问题。

1北斗载波相位组合观测量

使用北斗载波相位组合观测技术的优势主要有两点：一是组合观测量能消除或减少某些与原始测量相关的误差；二是使用组合观测量能够减少基于LAMBDA方法求解整周模糊度的计算负担，提高模糊度固定的效率和可靠性。下面推导组合观测量对原始测量模型影响。

北斗系统的三个频率（一般称为BIB283）的载波相位观测方程为：式中：ψi为第f个频率的载波相位观测量；p为卫星至接收机的几何距离（包括卫星钟差、接收机钟差和对流层延迟误差等与频率无关的误差）；λi为第i个频率的波长；Ni为第i个频率的整周模糊度；△ion为B1频率的载波相位电离层延迟；qi为相对于载波B1的电离层放大系数；在仅考虑一阶电离层延迟的情况下，各个载波的电离层延迟大小与频率的二次方成反比，由此可得qi的计算公式为：

由于北斗的三个载波的频率可分别表示为f1=k1f0，f2=k2f0和f3=k3f0，f0为基准频率，k1，k2和k3为互质正整数，具体而言：f0=2.046MHz，k1=763，k2=620，k3=590。方程也可以周数为单位，其表达式为：

式（1）、式（3）描述的是双差载波相位模型，式中各项均是星间站际的双差参量，这样做是为了保持模糊度参数Ni为整数。对于能够保持模糊度整数特性的任何线性组合系数（i1，i2，i3），组合后的载波相位ψ=ψ（i1，i2，i3）以周数为单位的表达式为：

把式（3）带入式（4）可得：

从式（5）可以看出，p和△ion的物理意义没有变化，组合后的载波ψ的整周模糊度N和波长λ的表达式分别为：

从式（7）可以推导出组合载波的频率f的表达式为：

因此，组合载波ψ的波长λ可以表示为：λ0/k，其中，λ0≈146.53m为北斗的基准波长。按照参考文献[4]中的定义，把参数k定义为巷数，巷数k在不受组合载波ψ其他特性参数影响的情况下，能够完全并且唯一代表组合载波ψ的波长。

假设北斗信号在三个频率上的载波相位观测噪声在以周为单位的基础上是相同的。由式（4）不难得到组合载波ψ的噪声标准差以周为单位的大小可以表示为：式中：σ0为北斗单频载波相位测量包含的以周为单位的观测噪声的标准差。因此，组合载波的观测噪声标准差放大系数（以周为单位）的表达式为：

由式（5）可得组合载波ψ相对于单频载波B1的电离层延迟的放大系数q（以周为单位）的表达式为：

综合以上推导，式（6）、式（8）、式（10）、式（12）能够表示组合观测量相对于原始测量在整周模糊度、波长、噪声、电离层延迟方面的影响，这些影响均能用组合系数（i1，i2，i3）表示。一种简单的寻优方法就是根据实际需求设定具体阈值，如使i1，i2，i3的取值范围为（-γ，γ）。在此范围内进行三维搜索就可得到满足条件的线性组合系数。参考文献[2]和参考文献[3]就是使用这种遍历寻优方法对双频GPS组合观测量进行寻优的。这种方法虽然简单可行，但不能揭示组合观测量误差特性随线性系数变化的规律，不利于对线性组合系数进行系统分析。

1.1组合系数寻优

通过求解不定方程推导出具有特定波长（即特定巷数k和电离层延迟放大系数q的组合观测量在噪声标准差放大系数，z最小的约束条件下的线性组合系数的方法。

1.1.1巷平面

对于任意一个给定的巷数k，所有符合条件的组合系数i1，i2，i3均满足如下等式：

763il+620i2+590i3=k

（13）

式（13）在i1-i2-i3空间坐标系表示的是一个平面。由于该方程的解要求是整数，所以其求解过程属于解算不定方程（又称线性丢番图方程），按照晏林介绍的运用矩阵方法求解不定方程，这里直接给出方程的整数通解形式：式中：a和β是任意的整数。

1.1.2电离层延迟放大系数平面

式（12）两边同时乘以k1k2，化简后可得：

36580q=36580i1+45017i2+47306i2

（15）

定义一个新的整数形式的电离层延迟系数q-36580q，那么式（15）可以表示为：

36580i1+45017i2+47306i2=q

（16）

式（16）也属于不定方程，用求解巷平面的方法求解该方程，其通解表达式为：式中：a和β是任意的整数。

图1展示了巷数k=0，k=±10000，k=±20000的巷平面和无电离层平面。从图中可以看出巷数为-k和+k的两个巷平面关于k=0的巷平面对称，每个巷平面内组合系数i1，i2，i3如是有规律的空间网格上的整数点。同时可以看出，特定巷数的巷平面与特定电离层延迟系数平面的交集是一条直线。对于特定k和q条件下n最小的最优线性组合一定在这条直线上。

1.2巷平面与电离层平面的交线

把式（17）带入到式（13）中，化简可得：

定义p=k-13786q/33，式（18）可以表示为：-5883a+11656β=p。式（18）属于二元一次不定方程，其求解方法与前两次的三元一次不定方程的求解类似，这里直接给出方程的通解为：式中：i为任意整数。把a，β的表达式代入到式（17）可得：

i=iO+jδi

（20）式中：δi为方向矢量，io方程的特解，其表達式为：

从空间几何上来讲，δi是巷平面和电离层平面的法矢量（nlane和nion）的叉积，从图1中也可以看出，所有巷平面或电离层平面都是平行的，那么其法矢量nlane和nion的值是固定的，通过计算可得δi的数值为：

然后，确定j的取值。组合载波观测量的观测噪声标准差最小的点就是这条直线上距离原点最近的点。这样由空间几何关系很容易得到一个j的理想值的表达式：式中：jreal有可能不是整数，因此，取距离Jreal最近的整数，即j=round（real）。把此时得到的j带入到式（20）中就可得到在特定巷数七和电离层延迟系数q条件下组合观测量噪声标准差最小的最优线性组合系数。

通过求解不定方程来构建北斗三频载波相位最优线性组合观测量的方法，不仅能够系统全面地分析组合观测误差随线性组合系数的变化规律，而且计算效率比传统的遍例寻优方法高得多。通常情况下，组合系数寻优方法不需要实时性，且寻优结果的误差可忽略，研究的重点往往是在探究一种表达方法，用于描述组合观测系统中系数与误差特性的内在联系。参考文献[6]中所述寻优方法建立在组合观测误差特性的几何状态空间，把组合系数作为一个系统参数进行求解，不能很好地体现每个系数对组合误差特性的影响。本文所述的方法直接建立在组合系数i1，i2，i3的几何状态空间上，能够更好地把每个组合系数的变化与误差特性的关系表现出来，更能直接地表现组合观测量的误差特性在i1，i2，i3状态空间的变化趋势与特点。

2北斗三频载波相位组合系统寻优

按照上一节所介绍的方法，本节寻找在特定巷数k和电离层延迟系数q的条件下组合观测噪声标准差放大系数n最小的线性组合。限定巷数后的搜索范围为-200≤k≤1800，电离层延迟系数q限定为-91450≤q≤91450，对应的电离层延迟放大系数q的范围为-2.5≤q≤2.5。经过寻优计算可得对应与每一组（k，q的最优的线性组合系数及噪声放大系数n。设定n的取值范围为n≤1000，寻优结果如图2所示。

图2中每一个点（k，q）都代表一个满足约束条件的最优线性组合方案，用实心圆来表示，实心圆越大，表示该组合观测量的噪声越小。

这些组合系数能够按照i1，i2，i3的和S进行重新分组，如so代表i1，i2，i3=0的组合系数集合。从图2中可以看出，有4条带状区域的组合观测噪声明显比其他区域小得多，这4条带状区域分别代表不同S组的低噪声方差放大系数的（k，q）分布趋势。为了解算中长基线的整周模糊度，理想情况下寻优的目标是想要找到既有较长波长又对电离层延迟不敏感的组合观测量。从图中可明显看出，矩形区域SO组的组合观测量就具备上述特性，因此，首先推荐在该区域选择组合策略。

2.1 SO区域详细分析

图3为SO区域的示意图，图中把具有相同的i1的组合方案用直线连接起来。从图3可以看出，相同i1值的组合方案基本呈线性分布。表l列出了图3中有应用潜力的待选组合方案及其组合特性。

综合表1中待选方案的组合特性可知，SO区域的组合方案完全符合本文的寻优标准，因此，首先在该区域进行挑选。由于图3中所有的点均满足i1，i2，i3=0，这些组合点都是线性相关的。因此，最多只能在其中挑选两种组合方案，第三种组合方案只能在从Sl组进行挑选。

2.2S1组的详细分析

从图2中可以看出，在Sl组中没有既属于宽巷又对电离层延迟不敏感的组合方案，因此，只能放宽在Sl组中挑选的限制。其中，Sla区域的组合观测量具有大波长但对电离层延迟比较敏感，图4描述了Sla区域的详细示意图。

表2列出了图4中的一些具有潜在应用价值的组合方案及其组合特性。由于该区域组合方案均为宽巷组合，波长大部分处于米级，在各种误差的综合作用下大波长有利于模糊度的搜索，因此，推荐第三组组合方案在该区域进行选择。

Slb区域的组合观测量对电离层延迟不敏感但属于窄巷组合，图5描述了Slb区域的详细示意图。表3列出了图5中一些具有潜在应用价值的组合方案及其组合特性。由于该区域的组合波长较小，不推荐用于中长基线模糊度的求解，但该区域属于消电离层组合，在模糊度确定的前提下可作为精确相对定位的组合策略。

由于本次试验基线为中长基线，距离分别为4.8km，12.4km，20km和36.8km，在SO组推荐使用（0，1，-1）和（1，-5，4）这两组宽巷组合系数。在Sla组推荐组合系数为（-5，4，1）的宽巷组合，主要是电离层延迟相对于大波长在中长基线条件下影响较小，而大波长的组合观测量在用LAMBDA方法解算整周模糊度时更快速，这一点会在本文第三部分进行验证。模糊度解算算法主要参考文献[11]～参考文献[15]，具体解算流程详如图6所示。

3试验及结果

为了验证北斗三频组合观测量寻优结果的可用性和北斗二代区域导航系统的相对定位精度，利用北斗三频接收机进行了中长基线静态相对定位试验，试验采用上海司南卫星导航技术有限公司的M300 GNSS接收机，在北京地区进行了4次40km范围内的地面静态试验，基线长度分别为5km，12.4km，20km和36.8km。接收机采集数据的时间间隔为5s，持续时间均为1420s。卫星数据采集地的具体位置信息可从图7中看出，图8展示了试验中所用的接收机和天线。

3.1组合观测的优势

采用第2节推荐的三组宽巷组合系数进行组合观测的目的是提高模糊度固定的效率。为了验证三频组合观测在这方面的优势，进行如下测试：在前185次连续测量当中，模糊度估计滤波器在每一个测量历元均进行重新启动，分别记录在每个历元模糊度重新固定所需的测量历元个数，最终统计滤波器遍历启动情况下固定模糊度所需测量个数。模糊度重新被固定的判定标准为ratio连续超过门限值（设为3）20次。图9为该测试过程当中5km和20km基线的统计结果。

从图9可以看出，在Skm基线条件下，90%的三频组合观测只需一次测量就可固定模糊度，20km时，这个比例占到85%，所有情况的模糊度固定需要的测量均不超过5次。对于单频（就北斗Bl频率而言）观测量，5km基线条件下，只有30%的情况能够立刻固定模糊度，50%的情况至少需要10次测量，90%的情况至少需要70次测量；在20km基线条件下，此时单频观测量完全不能固定模糊度，这一点从表4中也可看出。表4统计了模糊度解算算法在整个观测时间内固定模糊度的成功率，成功固定模糊度的标准为ratio>3。从表中可以明显看出，基线为5km时，单频与多频组合观测对模糊度的固定成功率影响差别不大；而在20km基线条件下，单频数据完全不能固定模糊度，而三频组合观测的模糊度固定与5km基线条件下的成功率相当，均超过98%。以上分析可以得到以下结论：大波长能够提高LAMBDA方法固定模糊度的效率和成功率；在較长基线条件下，单频测量不能固定模糊度，必须采用组合观测。

3.2相对定位误差

进行北斗系统相对定位误差分析时，基线的真值由美国喷气实验室（JPL）的自动精密定位服务网站提供。由于基线真值具有不确定性偏差，本文重点考虑定位偏差的标准差作为定位精度的评定标准。图10列出了4种基线情况下采用北斗Bl频率的测量进行相对定位解算的误差分布情况，表5列出了图10中各方向误差的统计特性。

结合图10和表5可以看出，北斗Bl频率的相对定位误差随着基线长度的增加而增加。在40km范围内，东向和北向偏差的标准差受基线长度的影响较小，能够保持在2cm范围内；天向偏差的标准差总是大于东向和北向，20km范围内，天向偏差的标准差能够保持在2cm范围内，超过20km后，天向偏差的标准差超过5cm，占总定位误差的92.1%。这可能是由于现阶段北斗MEO卫星部署较少，造成空间观测几何当中缺乏足够多的低高度角的卫星。

以上分析可知单频北斗数据在36.8km基线的相对定位精度明显不足，这一点可以从定位偏差的均值看出，尤其是此时天向偏差的均值超过了17cm。为了充分研究北斗三频测量对相对定位精度的改善，分别运用不同组合观测量进行相对定位解算。图11统计了采用组合观测量进行相对定位与基线真值的偏差，其中矩形高度表示偏差的均值，工字形的大小表示偏差的标准差（即定位误差）。前三组分别使用北斗Bl，B2，B3三个频率进行相对定位，4～6组表示分别使用北斗三频中的任意两个频率的载波相位组成非整系数完全消电离层组合进行相对定位；7～11组表示分别用图5中的一些窄巷整系数消电离层组合进行相对定位。

比较图11中不同组合系数的定位误差统计特性可以看出，在20km范围内，北斗单频相对定位偏差的标准差在三个频率上差别在2cm范围内，在36.8km基线下三个频率定位偏差的标准差差别明显，其中，Bl相对定位精度最高，B2次之，B3最差。

Bl，B2和Bl，B3非整系数完全消电离层组合的定位精度与整系数消电离层组合相当；B2，B3非整系数完全消电离层组合的定位偏差的标准差特别大，主要是由于这两个频点较为接近，其组合观测量引入较大的噪声。因此，不推荐使用这种组合用于高精度相对定位。

在20km基线范围内，北斗单频相对定位偏差的标准差与多频消电离层组合相当；在36.8km基线情况下，消电离层组合相对定位偏差的标准差明显小于北斗单频测量，最多能够提高71.4%。从总体上来说，40km范围内采用北斗三频测量能够使相对定位偏差的标准差在东、北、天三个方向分别控制在lcm，lcm，3cm之内。

4结论

本文通过不定方程分析了北斗多种线性组合的特征，运用试验手段进行了验证，取得了如下结论：

（1）对北斗三频载波相位组合观测间的误差特性进行了研究，基于不定方程求解了特定波长和电离层延迟下的噪声最优的线性组合系数。

（2）在特定波长和电离层延迟范围内进行了组合方案的寻优计算，通过分析寻优结果中组合观测量的特性，推荐三组宽巷组合方案（0，1，-1）、（1，-5，4）和（-4，4，1）用于40km范围内静态基线的模糊度固定；推荐的三组宽巷组合方案至多需要5次测量即可准确固定模糊度。

北斗系统的地面静态相对定位偏差在东向和北向基本相当，最大的定位偏差出现在天向方向；在lOkm范围内单频观测量的定位精度与多频观测量相当，超过20km之后采用北斗多频消电离层组合的相对定位精度明显高于单频测量。