一道浙江省文科高考题探析

苏艺伟 陈艺平

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

陈艺平，中学一级教师.

证明:(1)f(x)≥1-x+x2；

一、对第一小题的分析

第一步要证明f(x)≥1-x+x2.联想到高中阶段学习过的证明不等式的方法,有作差法,作商法,分析法,构造函数法等.

解法1作差法

解法2作商法

故f(x)≥1-x+x2.

解法3构造函数法

解法4运用运动与变化的观点

令h(x)=1-x+x2,x∈[0,1], 观察到在x=0处,f(x)与h(x)的函数值相等,这意味着这两个函数具有相同的“起点”.如果能够证明f′(x)≥h′(x),则意味着f(x)“奔跑”的速度比h(x)快,自然就有f(x)≥h(x).

故f′(x)≥h′(x),则f(x)≥h(x).

解法5分析法

最后一个不等式显然成立,故原不等式得证.

简析第一步的本质是比较大小,方法多样,能够让不同的考生都有所解答,较之第二步来讲显然较为简单,可以分步得分,同时体现了试题难度具有梯度性.从上述解答过程可以看出,该小步的设计其实来源于不等式1-x4≤1.命题思路如下:

由1-x4≤1,得(1-x2)(1+x2)≤1,即(1+x)(1-x)(1+x2)≤1,

图1 图2

二、对第二小题的分析

显然x1<0,x2∈[0,1].

易知f(x)在(0,x2)单调递减,在(x2,1)单调递增.

故f(x)在x∈[0,1]上的最大值为max{f(0),

令h(x)=3x2+6x3+3x4-1,得h′(x)=6x+18x2+12x3>0,

故h(x)在x∈[0,1]上单调递增.

又h(0)=-1<0,h(1)=11>0,根据零点存在定理可知,存在x0∈(0,1)使得h(x0)=0.

显然当x∈(0,x0)时,h(x)<0;当x∈(x0,1)时,h(x)>0.

则当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,1)时,f′(x)>0,

f(x)单调递增.

因此f(x)在x∈[0,1]上的最大值为max{f(0),

证明:(1)f(x)≥1-x+x3；

证明(1)由1-x6≤1,得(1-x3)(1+x3)≤1,即(1-x)(1+x+x2)(1+x3)≤1.

(2)对于h(x)=1-x+x3,x∈[0,1]，

g′(x)=-1+3x2,令h′(x)=-1+3x2=0,得x1=

易知h(x)在(0,x2)单调递减,在(x2,1)单调递增.

由第一步知f(x)≥1-x+x3,当且仅当x=0时取等号.

参考文献：

[1]张金良，沈金兴.2016年高考“函数与导数”专题命题分析[J].中国数学教育，2016(08).