例析“显零点”“隐零点”解答函数导数问题

蔡旭平

(重庆市秀山高级中学校 409900 )

在解答函数导数问题时，很多时候都需要借助某一函数在区间上的零点x0进行解题.若零点x0容易求出，就叫做“显零点”，若零点x0不易求出或无法求出(当然有时候是可以求出，但无需求出)，就叫做“隐零点”.

部分学生对于“显零点”的应用比较顺手，但对于“隐零点”的应用却束手无策.实际上，“显零点”问题我们可以直接求值进行解答，而“隐零点”问题我们可以类似于解析几何中“设而不求”的方法进行处理. 本文举例说明如何运用“显零点”与“隐零点”解答函数导数问题.

一、“显零点”在函数导数中的应用——直接求值

例1 (2016年全国高考丙卷，理科21题改编)已知函数k(x)=lnx-x+1,

(1)求函数k(x)的最大值，并求相应的x的取值；

(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

解析(1)易求当x=1时，k(x)max=0.

(3)由题设c>1，构造函数g(x)=1+(c-1)x-cx(0

所以当x∈(0,x0)时，g′(x)>0;当x∈(x0,1)时，g′(x)<0.

所以函数g(x)在(0,x0)单调递增，在 (x0,1)单调递减.

又g(0)=g(1)=0,故当00.

所以x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

二、“隐零点”在函数导数中的应用——设而不求

(1)

参考文献：

[1]谢芬芳,任北上，刘立明.中学数学解题教学与培养学生思维品质的研究[J].课程教育研究，2015(4).

[2]江志杰.用零点领域探析不等式恒成立问题[J]. 高中数学教与学，2015(10).