基于空间谐波分析的典型加筋板结构声振特性

高双，朱翔，李天匀，和卫平，魏建辉

1武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉430205

2华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074

0 引 言

加筋结构由于具有质量轻，力学性能好等优点，被广泛应用于船舶、航天等领域。随着《船上噪声等级规则》［1］的实施，在工程领域对结构的减振降噪要求越来越高，因而其动力特性成为国内外学者研究的热点。自上世纪80年代起，针对周期加筋板结构的声振特性，已经提出了多种不同的理论。以南安普顿大学的 Mace［2］和 Mead等［3］为代表的团队对加筋结构进行了系统的理论分析，成为国内外学者研究加筋结构的基础。Mace［2］以受谐波激励的正交异性加筋板为对象，将骨材视为线力反作用于板材，求解了其声振特性，但没有考虑骨材扭矩的影响；金叶青等［4］利用波数域中的方程组截断，提出了一种高效的周期加筋板声辐射分析方法，但并未得到加筋板的解析解；吴文伟等［5］以加筋圆柱壳为算例，分析了等间距相同加强筋板的声辐射；左言言等［6］从结构动力响应的波动分析入手，介绍了频率波动的分析方法，但并未直接应用该方法；Zhou等［7］引用空间谐波法分析了周期加筋板的声振特性问题；魏强等［8］针对3种典型加筋船板，借助经典波动法，分析了阻尼、骨材等参数对船体板架声辐射效果的影响；高双等［9］应用3种简化方法对加筋板进行简化研究，为加筋板组合结构的振动和低频声辐射问题提出了新的简化思路，但未对加筋板的声振特性展开研究。

本文将以普通单向周期加筋板为对象，分别考虑单周期单向加筋板和双周期单向加筋板，将加筋板的骨材作用简化为筋与板之间的纯力耦合，运用傅里叶变换，将空间域转换到波数域，利用泊松公式及周期函数的性质处理方程，得到加筋板结构的位移解析方程，同时考虑骨材的扭矩作用，分析骨材扭矩作用对加筋结构声振特性的影响。通过稳相法，在球坐标系下给出远场声压的表达式。最后，通过算例分析得到骨材扭矩作用对加筋板结构声振特性的影响，同时讨论激励类型、激励位置、骨材参数等因素对单、双周期加筋板结构声振特性的影响。

1 理论分析

1.1 单周期加筋结构声振模型

考虑如图1所示的处于xy平面的无限大薄板，在板的单面沿y向布置有肋骨，肋骨间距为l，在z＞0区域为流体，外激励为Pe(x，y)。

板的面外位移w(x，y)满足振动方程［10］：

由声学波动方程，考虑到板表面的流体振速与板的法向振速相同，可得流体声载荷为［4］

式中：ρ0为流体密度；γ2=α2+β2-(ω/c0)2，其中c0为流体中声速，考虑到对于远场声压P(α，z)=Ae-γz，(z＞0)，其中A为声压幅值，需满足无穷远处辐射声压趋于0的边界条件，因此γ的取值需满足

对于骨材的作用，将骨材简化为欧拉梁，只考虑骨材对板材的力的作用，忽略扭矩作用。由骨材和板材的位移关系，利用傅里叶变换、骨材的周期性以及泊松求和公式，得到骨材作用力的表达式［2］为

式中，Kf=EfIfβ4-ρfAfω2，为骨材波数域下的动态刚度，其中Ef为骨材杨氏模量，If为骨材截面惯性矩，ρf为骨材密度，Af为骨材截面扭矩。定义Zp=Kf/l，为骨材阻抗。

将式（3）和式（4）代入式（2）中，有

式中，S(α，β)=[D(α2+β2)2-ρt0ω2-ρ0ω2/γ]-1，为板的动刚度。令，式（5）可以写成

用α-2πm/l替代α代入式（6），并把公式两边对m求和，考虑m，n无限叠加重合，有

考虑函数的周期性，有

将式（8）代入式（6），有

从而得到单周期加筋板在波数域的振动方程位移解。

1.2 考虑骨材扭矩作用的单周期加筋板声振模型

上节主要分析了骨材对板的力的作用，实际上骨材和板之间的耦合作用主要包含力和扭矩2种，虽然一般认为在这2种耦合作用下力的耦合作用占主导，但扭矩作用在实际的结构声振分析中占多大贡献需要在研究中予以考虑。本节同时考虑骨材的力和扭矩作用，忽略时间项，分析加筋板在考虑骨材的力和扭矩耦合情况下的振动方程［3］：

式中：δ为Kronecker delta函数；M(x，y)为力矩作用，其表达式满足［11］

式中：Gf=Ef/[2(1+ν)]，为骨材的剪切模量；Jf为扭转常数；I0为骨材极惯性矩。将式（11）代入式（10），考虑傅里叶变换的性质，将式（10）变换到波数域，有

利用傅里叶变换及泊松求和公式，得到骨材的力和扭矩的作用［12］。

将式（13）代入式（12），从而有

为便于表述，在此节推导过程中假设板受到的激励为简谐声激励，谐波激励定义为：

其中Q为谐波力的幅值，α0，β0分别为x，y方向上的波数。骨材阻抗

骨材扭转阻抗

由函数周期性，有

用α+2πm/l替代α，考虑函数的周期性，并对式（14）左右对m求和叠加，以及两边同乘α=α+2πm/l求和并简化，有

由方程组（16）的求解，可得

将式（17）代入式（14），有

即可得到考虑骨材的力和扭矩作用下单周期加筋板在波数域的振动位移解，当受到的激励为力激励时，式中各参数做相应的改变亦可得到类似的表达式。

对于式（18），令Ztp=0，退化成不考虑扭矩的作用：

由式（19）可知，QSa与上文中的P(α，β)一致，可见考虑扭矩的解析式退化后与上文不考虑扭矩的位移表达式（9）结果吻合，验证了推导的正确性。

通过上文的推导也可以看到，考虑扭矩后，加筋板结构的推导复杂得多，其计算量也极大地增加。在实际算例中发现，考虑骨材扭矩作用后，在2种耦合作用下，力的耦合作用占主导，扭矩对加筋板的结构声振特性影响很小，在一般工程计算分析中可忽略不计。

1.3 双周期加筋板声振模型

在船舶结构中，纵骨和纵桁同时存在的现象较为常见，因此可以将其简化为如图2所示的双周期加筋结构，大小骨材的周期交错用填补法来考虑，即将双周期加筋板看成是2个单周期加筋板的组合。图2中，纵骨间距为l，桁材间距为ql，其他参数与1.1节中一致。同时由于1.2节的分析结果，本节在分析双周期加筋板结构时不再考虑骨材的扭矩作用。

其面外位移w(x，y)满足如下振动控制方程［13］：

式中，Ff(x，y)和Fg(x，y)分别为纵骨和桁材对板的作用力。通过傅里叶变换，将式（20）变换到波数域，考虑傅里叶微分定理，得到

同理，可得到骨材和桁材的动态刚度为：

式中：Eg为桁材的杨氏模量；Ig为桁材的截面惯性矩；ρg为桁材密度；Ag为桁材的截面扭矩。可以将双周期加筋板视为刚度为Kf、间距为l的小骨材，以及刚度为（Kg-Kf）、间距为ql的桁材单周期加筋板的叠加。将骨材视为线力，利用傅里叶变换及泊松求和公式，得到骨材的作用力［10］为

将式（22）代入式（21），结合1.1节的推导，有

由于只x方向上存在骨材，故可以考虑固定β来分析α波数方向的振动。同样，对上述参数进行简化：

这样，式（23）便可表达为

构造参数r，m，用α-2πr/ql-2πm/l替代α代入式（25）并且两边无限求和，有

对式（26）合并同类项，有

对参数r取0到q-1，方程左右叠加，有

特例r=0时，有

将式（28）代入式（29），同时将式（28）和式（29）代入式（25），可以得到

也即得到了双周期加筋结构的波数域振动方程解析解。令

则式（31）可以简化成

经分析不难发现，wf(α，β)为小骨材对平板的作用，wg(α，β)为桁材对平板的作用。若大小骨材一致，Kg=Kf，即H=0，wg(α，β)=0 ，则退化为单向单周期加筋板的振动位移表达式，其结果与上文式（9）的推导结果一致，验证了上文推导的正确性。

1.4 加筋结构的声辐射

通过求解加筋板的振动控制方程得到波数域的振动位移解后，通过傅里叶逆变换即可得到空间域的加筋板振动位移解。在球坐标系(R，θ，φ)下，利用稳相法，可以得到远场声压的近似解［11］：

式中：观察波数 (α*，β*)为α*=(ω/c0)sinθcosφ，β*=(ω/c0)sinθsinφ；θ为场点与z轴方向的夹角；φ为场点与x轴方向的夹角。

在水中，远场辐射声压用声压级Lp来衡量，Lp=20 lg(p/p0)，其中p0为参考声压，在水中，参考声压取p0=1×10-6Pa。不考虑时间项，在典型集中力的激励下，Pe(x，y)=Qδ(x-x0)δ(y-y0)，集中力作用在 (x0，y0)处，在波数域下表示为；在典型谐波激励下，Pe(x，y)=（其中α0，β0为x，y方向上的波数），在波数域下表示为本文在空间球坐标系下取R=1，θ=0，φ=π/2，投影到波数域上即为R=1，α*=0，β*=0 ，作为观察波的方向，分别选取谐波激励和力激励分析典型加筋板的水下声振特性。

2 算例分析

下面将对单周期加筋板、考虑扭矩加筋板、双周期加筋板进行振动响应及辐射声压的计算分析。2种加筋结构的材料属性相同，材料属性和几何尺寸如下：板厚t0=5 mm，泊松比ν=0.3；考虑阻尼的作用，杨氏模量E=(1+0.02j)1.95×1011Pa，扭转常数Jf=2.02×10-9m4，密度ρ=7.7×103kg/m3，流体介质密度ρ0=103kg/m3，声速c0=1.5×103m/s；骨材截面尺寸为5 mm×50 mm，骨材间距l=50 mm；桁材截面尺寸为 10 mm×100 mm，桁材间距L=ql，q=9。

2.1 单周期加筋板的声振特性分析

图3～图6所示分别为单周期加筋板在原点单点力激励和垂向（θ=0，φ=π/2）谐波激励下的原点位移幅值及远场辐射声压级曲线（图中，W为振动位移幅值），同时，也给出了平板的位移和辐射声压以便于对比分析。

由图3～图6可见，与平板相比，单周期加筋板的振动和声辐射响应曲线均有明显的振荡。由于骨材的存在，将平板划分为局部板格单元会造成局部振动。同时，单周期的加筋布置使振动弯曲波在结构传播中呈现声子晶体的特点［14］，形成周期性的波峰、波谷和禁带特性。图5和图6还给出了激励位置不同时的声压级曲线。图5中，x0=0和x0=0.25分别表示力激励作用在骨材上和平板上；图6中 (α0，β0)=(0，0)表示谐波激励垂直作用在加筋板上，(α0，β0)=(π/4，π/4)表示谐波激励与加筋板成45°激励。由图5和图6可见，辐射声压级曲线与激励的位置有关，激励作用在骨材上时声压级明显减小，并且声压级的峰值随频率的增加而减小，这是因为骨材的阻抗是随频率的增加而增加，抑制了整个结构的声压辐射。在波数域下，同样由于骨材的存在，声辐射出现了波谷，说明了骨材对结构声辐射的抑制作用。

图7～图9讨论了在点力激励下骨材大小、间距、板厚等参数对单周期加筋板声辐射的影响，同样，也给出平板的声辐射并与之进行了对比。图中，h为骨材高度。

由图7～图9可以看到，加筋板的声辐射特性与骨材及平板的参数密切相关。随着骨材的增大，加筋板声辐射曲线基本保持一致，但峰值明显下移，说明骨材对抑制加筋板的声辐射有着明显的作用，随着骨材的增大，其抑制作用增强；随着骨材间距的增大，加筋板的刚度降低，固有频率降低，辐射声压级峰值向低频移动，同时随着骨材间距的增大，声压级曲线振荡波动加剧，峰值减小；对于单向加筋板，随着板厚的增大，其刚度增大，结构的固有频率增加，且声压级曲线峰值向高频移动，辐射声压级明显降低。

2.2 骨材扭矩对加筋板声振特性的影响分析

图10～图11所示为对单周期加筋板分别施加力激励和谐波激励，以及是否考虑骨材扭矩作用的原点振动位移幅值和远场辐射声压级对比曲线。

由图10～图11可以知道，无论是在力激励还是谐波激励下，考虑骨材的扭矩作用后，加筋结构的振动位移曲线和远场声压级曲线与不考虑骨材扭矩的作用时基本一致，扭矩作用对加筋板结构声振特性影响很小，故在一般工程计算分析中可忽略不计。本文在有关骨材参数对声振特性的分析中可以不考虑骨材的扭矩作用。

2.3 双周期加筋结构的声振特性分析

图12～图13所示为原点力激励下，对于平板、单周期加筋板和双周期加筋板，其原点振动位移幅值和远场辐射声压级曲线。

双周期加筋板相当于把单周期加筋板的某些骨材参数增大，因此和平板、单周期加筋板相比，双周期加筋板的振动和声辐射整体水平偏小，与上文随着骨材尺寸的增大能有效抑制加筋板的振动和声辐射的结论一致。同时，由于部分骨材增大后加筋板的刚度也增加，致使双周期加筋板的声振特性曲线峰值均略向高频移动。另双周期结构在一个波动区间内出现了一个小的双周期波动，这体现了双周期结构的声子晶体特性，其会在一个大周期内出现局部间隙，形成小的波谷。

图14～图17所示分别为在原点力激励下，激励位置、骨材间距、骨材大小和板厚等参数对双周期加筋板声辐射特性的影响。

由图14～图17可以看到，对于双周期加筋板，当激励力依次在大骨材（x0=0）、平板（x0=0.5l）和小骨材（x0=l）上时，整体结构的声辐射变化趋势一致，其中作用在平板上时结构的声辐射水平最高，作用在大骨材上时结构的声辐射水平最低，因为这时的阻抗最大。在船舶结构设计中，可以考虑将激励位置尽可能设计在强构件上，这样可以有效降低结构的声辐射；随着骨材间距的增大，加筋板的刚度降低，固有频率降低，辐射声压级峰值向低频移动，同时随着骨材间距的增大，声压级曲线的振荡波动加剧，峰值减小，回归于平板的中间水平；随着大骨材尺寸的增大，加筋板的声辐射曲线基本保持一致，但峰值及均值明显下移，说明骨材对于抑制加筋板的声辐射有明显的作用，随着骨材的增大，其抑制作用也增强；对于双周期加筋板，随着板厚的增大，其刚度增大，结构的固有频率增加且声压级曲线峰值向高频移动。

3 结 论

本文通过对单周期、双周期加筋板的振动控制方程进行推导，得到了其振动及远场辐射声压解析解，讨论了考虑骨材扭矩与否的区别，并针对单、双周期加筋板的激励类型、激励位置、骨材参数及板厚等因素对声振特性的影响进行了讨论，得到如下结论：

1）骨材扭矩对结构声振特性的影响较小，但使得结构的推导变得复杂，同时还会增加计算量，从工程计算的角度，在计算加筋板的声振特性时，可以不考虑骨材扭矩对板材的作用。

2）激励点的位置对结构的声辐射影响很大，当激励作用在骨材上时，其声辐射幅值会较激励于平板上时明显降低，因此在实际的船舶结构设计中，可以考虑将激励尽可能设计在强构件处。

3）骨材间距、骨材尺寸对结构声振特性的影响明显，随着骨材间距的增加，声压级曲线会向低频移动，结构的声辐射水平会随着骨材的增大而明显降低，说明骨材增大可以有效抑制结构的声辐射。

4）对于加筋板，随着板厚的增加，声压级曲线峰值会向高频移动，其对声辐射大小的影响比较复杂。

5）周期加筋结构出现了周期性的波峰和波谷，可以利用骨材参数对声子晶体带隙的影响来抑制某些频率的振动传递和声辐射。

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