概率论教学中培养数学思维的探讨

李立明　魏　君　孙旭阳

（吉林大学数学学院公共数学教学与研究中心，吉林 长春　130012）

概率论是很多高等院校学生的一门重要的公共基础课，它是研究大量随机现象背后隐藏的统计规律性的一门学科，有别于其它研究确定性现象的学科。概率论的教学任务不仅是传授概率论的知识、思想和方法，更重要的是将概率论的思维方式渗透到教学过程中，启迪学生的智慧，挖掘学生的潜能，培养学生的数学思维能力以及创新能力。本文结合教学实际，对概率论教学中如何培养学生的数学思维进行了一些探讨。

一、引导学生将随机性思维和确定性思维有机结合

高中数学中对概率论就有了简单的介绍，但是只讲述如何求概率，并没有给出概率的严格的数学定义。而大学阶段的概率论的基础是微积分、线性代数，更加严谨抽象和晦涩难懂。从课程开始就引导学生用新的思维方式——随机性思维来思考、分析和解决问题非常重要。

传统的确定性思维认为所有的问题的答案都是独一无二的，完全确定的，然而现实世界中的很多问题都没有程式化的确定答案，像“明天是否下雨”“股票是否上涨”等，根本原因在于生活中随机现象的广泛存在。因为随机现象是大量微小的随机因素共同作用的结果，所以对于随机现象，谁都不可能完全准确无误的预测，就连确定性的数学模型也是忽略掉诸多次要因素才得以产生。

例如抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，正反面的出现是随机的，谁也不能百分百地预测。但是如果将一枚硬币重复地抛很多次，却可以预言大约50%次数出现正面或反面。也就是说，虽然随机现象具有偶然性，但是大量随机现象却蕴含着必然性。概率论最重要的极限定理之一“大数定律”的核心思想就是：大量随机现象的平均结果具有稳定性。概率论就是要教学生用随机的眼光，透过表像的偶然，寻求内部的必然。

大千世界，随机因素无处不在起作用。概率论与实际生活息息相关，在各行各业、各个领域中应用也十分广泛。在概率论的教学中，如果教师能在确定性思维基础上，引导学生用随机性思维来思考、分析和解决问题，并能学以致用，解决生活中的概率问题，不仅会提高学生的思维品质，还能培养创新能力。

二、引导学生将辩证思维和概率论思维有机结合

概率论中包含着大量的辩证法思想，比如偶然中蕴含必然，量变积累产生质变、无限与有限的转换，等等。教师如果在教学中能合理渗透辩证法思想，引导学生将辩证思维和概率论思维有机结合，可以更好地帮助学生理解教学内容，将概率论深刻的思想内涵，内化为自身的数学素质，提高智力品质，完善思维结构。

1、量变到质变的辩证思维

在概率论中，我们把概率很小（接近于0）的事件称为小概率事件。小概率事件在一次试验或少量的几次试验中，虽然有可能出现，但是出现的可能性很小，可称为“几乎不可能”事件。但是在大量重复独立试验中，小概率事件的概率会变得接近于1，成为大概率事件。因为大概率事件出现的可能性很大，可称为“几乎必然”事件。

例如：假设白菜种子中混有0.4%的油菜种子，从一大口袋这样的种子中任取100粒或1500粒，计算取出的种子中有油菜种子的概率。

解：以Ai表示所取出的第i粒种子为油菜种子（i=1,2，…，n），由题意可以认为各个事件Ai（i=1,2，…，n）相互独立，因此取出的n粒种子中有油菜种子的概率为

取出的100粒种子中有油菜种子的概率为

取出的1500粒种子中有油菜种子的概率为

从小概率0.004到大概率0.9976的转变，或者说从“几乎不可能”事件到“几乎必然”事件的转变，不是一蹴而就的，是伴随着试验次数的不断增加而逐渐产生的。试验次数越多，小概率事件出现的可能性越大。随着试验次数的不断增加，小概率事件的概率经过“量”的不断积累，最终突破了一定的“度”，产生了“质”的飞跃，变成大概率事件。

2、有限与无限的辩证思维

以几何概型为例，它也称无限等可能概型，特征是样本空间的样本点无限多，连续地充满某个区间、平面区域或立体区域，且每个样本点的出现都是等可能的。几何概型中概率的计算，本来是对无限多的样本点的运算，但是可以通过改变计量方式，转化成对有限的区间的长度、有限的平面图形的面积或有限的空间立体的体积的运算。简单地说，在一定条件下，无限可以转化为有限。

例如：将长为m的线段任意折成三段，求所得三段能构成三角形的概率。

解：设所折三段长分别为x、y及m-x-y，应满足

样本空间的样本点（x，y）构成△OAB。

所折三段能构成三角形，应满足

此事件的样本点（x，y）构成区域△CDE。从而所求概率为

反过来，有限也可以转化为无限。以概率的定义为例，概率是度量事件发生可能性大小的数，这个数是事件本身所固有的，它是一个位于0和1之间的有限的数。由概率的统计定义和伯努利大数定律可知，这个数可以用无限增大试验次数的方法，利用频率的稳定值获得。

三、引导学生将聚合性思维和发散性思维有机结合

聚合性思维也可以叫收敛性思维，是在一定范围之内有固定规则和确定方向的思维模式，强调的是对已有信息的理解和综合使用。反之，发散性思维是没有范围、规则和方向的思维模式，海阔天空任凭想象，强调的是对新信息的联想和综合运用。

在概率论的教学过程中，如果一味地强调聚合性思维，缺少对发散性思维的鼓励，会僵化学生的思想，束缚学生的想象力，使学习过程变得教条和枯燥，易使学生失去学习概率的兴趣和动力。相反，教师如果能在聚合思维基础上，恰当地引导学生运用发散性思维，鼓励学生展开想象的翅膀，鼓励学生从多角度、多方面思考问题，就会极大地调动学生的热情，积极主动参与到学习中。

聚合性思维和发散性思维的有机结合，使学生在学到数学知识的同时，思维能力也得到了拓展，数学素质有了进一步提高。

解题教学是概率论教学中比较重要的一个环节，概率论中的新的概念、方法等都需要通过解题训练得以巩固。在概率的解题过程中，一题多解就是发散性思维的一个体现。

例如：有10个人随机地绕着一个圆桌而坐，求张三、李四两个人座位相邻的概率。

解法1：按照圆周排列的方法求解。10个人中的第一个人有10个座位可以选择，第二个人有9个，第三个人有8个，照此类推共有10!种坐法。可以注意到：每一种坐法经过旋转都可以产生10种坐法。因为圆桌排列不用考虑排头，所以这10种坐法是重复的。去掉重复的坐法，10个人绕圆桌而坐共有9!种坐法。李四和张三座位相邻看作占一个座位，两人座位可以交换，故有2×8!种坐法。故所求概率为

解法1是常规解法，属于聚合性思维。这种解法的训练，可以巩固学生对所学知识的理解和熟练运用。

解法2：不妨假设张三先坐下，那么张三有10种坐法，相应于张三的每一种坐法，李四在剩下的9个座位中选择一个，即李四有9种坐法，即基本事件总数为9，而李四和张三座位相邻有2种坐法，故所求概率为

解法2去繁求简，假设一个人先坐下，着重关注另一个人的坐法，在缩小了的样本空间中求解。这种解法简单独特，标新立异，从不同的角度思考问题，拓宽了学生的思路，锻炼了发散性思维。

四、引导学生将批判性思维和概率论思维有机结合

批判性思维，是指用质疑、批判、否定的态度，大胆破除思维惯性的束缚，在思维的过程中不断地作出评判。批判性思维表现为能独立思考，不盲从，有个人独到的见解和判断。

批判性思维既是求异思维，也是创造性思维。

在概率论的教学中，引导学生将批判性思维和概率论思维有机结合，鼓励学生对所研究对象的真实性、价值做出评判，这种评判当然不是对已有知识的完全否定，而是对已有知识的扬弃、发展和创新。

例如：某地罹患癌症的人占0.005，罹患癌症的人对一种医学检验反应是阳性的概率为0.95，健康人对这种检验反应是阳性的概率为0.04，在该地随机抽查了一个人，检验结果是阳性，问此人罹患癌症的概率有多大?

解：设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，所求概率为 P(C|A)。根据贝叶斯公式由题意，P(C)=0.005，P（C）=0.995，P（A|C）=0.95，P（A|C）=0.04，带入数据进行计算得P（C|A）=0.1066，即检验结果为阳性的人罹患癌症的概率为0.1066。

在讲解这个概率问题时，教师对运算结果不要一带而过，应引导学生大胆质疑，对所研究结果的真实性、价值做出评判。比如检出阳性的人是否一定患有癌症?这种试验对于诊断一个人是否患有癌症到底有无意义？如何进一步提高试验的价值？等等。批判性思维不仅可以调动学生的热情，提高学生主动参与的意识，还能提高学生的识别、反驳和重建的能力，提高学生思考问题的严谨性、深刻性。

总之，在概率论的教学中加强数学思维的培养，可以使学生更深刻地理解概率论的知识、思想和方法，还可以引导学生用数学思维去分析、解决实际生活中的问题，增强应用数学的意识和创新能力。数学教师应当明确大学生素质教育的目标，根据概率论的学科特点，积极研究并实施数学思维教育，促进大学生综合素质的全面发展。

参考文献：

[1]张德然.概率论思维论[M].北京：中国科学技术大学出版社,2005.

[2]徐静.概率论教学中思维品质的培养[J].大学数学,2011,(5).

[3]徐香勤,刘花丽.论概率论教学中的思维方式的培养[J].和田师范专科学校学报,2010,(3).