问题驱动理念下的高中数学合作学习探析——以“差角三角函数公式”教学为例

陈龙珠吴 飞

（1.尤溪第一中学，福建 尤溪 365100；2.尤溪教师进修学校，福建 尤溪 365100）

“自主、合作与探究”是本次课程改革所提倡的教学理念。相对自主学习而言，高中生合作学习的组织和实施比较困难，主要问题集中表现在两个方面：一是不愿合作与不会合作。基础好的学生认为课堂学习时间太紧，与其合作不如自己多学，基础弱的学生提不出问题，不知道如何合作。二是没有合作学习的平台与机制。所谓“合作学习平台”，是指两人及以上有组织的合作学习小组，小组内有目标、有分工。没有平台就没有组建学习小组或有小组没有组织管理。［1］所谓“合作学习机制”主要指相互间的帮扶机制，合作的评价、激励机制。［2］没有机制就没有结对子帮扶措施，没有过程评价和行为激励的运行机制。

上述问题的根源集中体现在教师和学生认识上，反映在合作学习问题设计上。认识到位，问题设计合理，那么合作的态度、平台及其机制就有根基。对此，笔者以“差角三角函数公式”教学为例，从学习问题设计入手，对高中生数学合作学习的实施进行具体分析。

一、师生惯性思维引发的合作学习困境与矫正

对教师而言，依据教材讲授知识是最为简单的教学行为。“教都教不会，让学生自己合作学习不是时间浪费吗？”“课程教学内容多、任务重，没有时间安排合作”，这是“教教材”教师的普遍认识。以“差角三角函数公式”（2013人教版A版数学必修4）的教学为例，按照教材设计的教学基本流程“情境设置、调度思维”“猜想入手、验证跟进”“联系旧知、推导公式”和“例题讲解、练习配套”四个环节展开，是多数教师的教学行为。从教学内容和教学课时安排看，一个课时教学时间，要让不同程度学生掌握知识点（如何在单位圆中用角α与β的正弦值和余弦值来表示角α-β的余弦值；如何用向量数量积的坐标来表示角α-β的余弦值）并且在思维能力（思维方面：如何构造α-β？为什么要这样设计？思想方法上：单位圆模型应用）上有所提升和发展，的确是有一定的难度。很显然，无论教师多么努力讲解，中等程度以下学生都将存在“夹生饭”情况，课后要花时间自己再理解，而优生的认知水平也只是停留在接受上。既然如此，让学生带着一定问题（有梯次的问题串）合作（好、中、差的组合）探究，然后，教师根据情况再行施教至少有两个好处：好生可以在“教而知困”中实现“愤启”——说得出来，系统化知识；中下生可以在“学而知不足”中实现“悱发”——有基础的启发，理解知识。在本例“差角三角函数公式”教学中，如果组织学生先依据问题串合作探究然后再因学施教，笔者以为对教师后续讲解和对学生思维的调度，在时间上、在知识理解和能力发展上都是经济、合理的（下文将具体分析）。因此，教师认识问题要在课堂教学设计的比较中具体解决。

对学生而言，依赖感是长期讲授式教学形成的习惯。学习好的学生不愿与学习落后的学生交流，是因为优生认为自己已经理解了教师的讲解，没有问题需要交流，而一旦形成依赖，多数时候也提不出有价值的问题；对于学困生而言，由于基础不扎实怕提问题，加之形成了对教师的依赖，也确实提不出问题交流。因此，在课堂中无法实施合作学习的本质是学生长期依赖教师的结果。因此，要有意识地组织学生自主探究与合作探究，让学习还原为活动中经验交流的过程性本质，正如差角三角函数公式学习中，“为什么要学”“如何转化差角函数值为两个角的三角函数值”“怎么从特殊角到一般的角”，以及“两种证明方法的比较”都是很自然的经验问题，只有经验的自然交流才能实现学习社会性和个体性的统一，促进好生在“教”中深化对知识内在性认识、学困生在交流中消弭对知识交流的“恐慌”，形成好中差的多赢局面，这才是解决问题之根本。

二、以问题作主线串联合作内容

合作学习涉及到五个方面：积极的互赖关系，个人的责任，促进性互动，社交技能和小组自评。而探究性合作学习的关键是“探究”核心是“合作”，在处理好以上五个方面的同时要认真把握以下三个问题串。

一般而言，课堂教学任务是有一定结构性的，它由学生的认知水平、认知规律和课程标准所决定。因此，探究的内容要围绕着学生的认知需求与认知水平来组织；探究的任务要围绕着教材所呈现的教学内容来生成；探究过程围绕着课程标准所设计的教学目标和教学任务来推进。在明确探究内容、任务的基础上，用问题串的形式将其串联起来，特别是将合作内容串联起来。就“差角三角函数公式”的教学而言，从“为什么要研究差角三角函数值”“章头图的情境问题表达了怎样意图”，进一步思考，“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值？”这些问题对长期“教教材”的那些教师来讲不是问题，但是，对于学生来说却是十分重要的，它不仅是对学习需求、学习必要性的激发和调度，更是引导学生从现实问题入手，学会解决问题所必须经历的思维过程。很显然，问题解决来自于问题发现，问题发现来自于对事物的观察与思考，而观察与思考的行为动力则是个体的内在需求。由于学生不是天生的就会观察，也很少有机会面临现实的、典型的实际问题进行观察思考，尤其是带有思维方法习得的思考。因此，教师要把探究内容转化为问题思考来促进学生探究。上述三个问题指向了数学现实应用急迫性和数学问题解决一般性的情感和能力领域，是探究性合作性学习的首要内容，因此，有必要将其分解成问题串，用于合作学习。

三、以问题作载体调节自主与合作的学习进程

从形式上看，探究可以分为个体的自主探究和小组的合作探究。自主是合作的前提，在自主基础上的合作，合作才有针对性和达成性。个体如果未能事先切入教材去理解“为什么要研究差角三角函数值”“章头图的情境问题表达了怎样意图”，那么，对于“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值”这样需要真正合作的问题是没有合作意愿和基础的。从合作的目的看，合作探究是以解决共同关注的问题为前提的。如果个体没有自主探究的准备，对探究对象了解不充分、认识不全面，那么合作交流自然就不充分、不全面甚至无法合作，解决问题的目的就无法实现。在本例中，如果学生没有“如何构建α-β，为什么要这样构建α-β”的自主思考在前，那么合作的意义只能停留在对角α与角β余弦线和正弦线的理解上，这样的合作是低层次的。因此，调节自主与合作学习进程是十分重要的问题，教师在设计学生合作学习活动的首要工作就是先设计学生自主学习要先行思考和解决的问题。

四、以问题作阶梯推进分层合作

要让每个合作小组持续保持合作意愿和合作热情不是教师一厢情愿的事情，它不仅需要建立相应的合作机制，如组织机制、帮扶机制、讨论机制，还要根据学生的知识或认知水平分层实施1对1联动性交流或指导性交流。因此，合作问题的设计要有层次性：同水平的实施有层次的联动性交流；不同水平间实施有层次的指导性交流。联动性交流如：“情境图中，（1）已知条件有哪些？（2）求解什么？（3）解决问题的关键在哪里（怎么由角α的正弦值，求出45°+α的正切值）？”这些问题的设计既要直接明了，又要涵盖情境问题中基本的思维价值。指导性交流如：“情境图中，（1）从已知到未知，它的本质问题是什么（问题转化：由角α的正弦值，求45°+α的正切值）？（2）在具体到一般的转化中，角α，β的三角函数值与α+β或α-β的三角函数值可能是什么关系（是一种简单的分配关系吗，请举例）？（3）怎么在单位圆中构建α-β？为什么这样构建？”指导性交流问题主要聚焦于问题解决的思维梯度的设计上。思维梯度既要指向新旧知识的勾连，又要指向解决问题的思维启发上。

五、用问题来聚焦知识的发生与发展来展开合作学习进程

课堂教学要常态把握的总问题通常有三个方面：一是要学什么？二是为什么要学？三是怎么学？从人的认知规律看，这三问题实际上是知识的发生（发现了哪个知识）与发展（怎么发现的，能解决什么）问题。因此，相对于合作学习而言，要思考、要合作解决的总问题也是围绕着这三个方面来设计。

所以，课堂教学总问题的设计是要为整个教学流程服务的；具体的合作学习问题设计只是对总体问题的落实。以“差角三角函数公式”教学来讲，每个教学环节的问题设计（主要是自主与合作的问题设计）都是对“为什么要学习差角三角函数公式”“如何在单位圆中学习差角三角函数公式”“怎么更为一般化地证明差角三角函数公式对于任意角都成立”的落实。

综上所述，探究性合作学习问题（串）设计必须把握好学生认知水平分层设计原则、合作探究内容整体设计原则和依据知识发生与发展逻辑梯次设计原则。如此，基于探究的高中生数学合作学习才是有效的、自觉的。