相位干涉仪测向模糊与误差统计分析

陆安南，尤明懿

(中国电子科技集团公司第三十六研究所，浙江 嘉兴 314033)

0 引 言

由于卫星平台限制和噪声影响，测向系统存在相位差模糊、测向模糊(多个方向无法唯一选择)和错误解模糊(错误选择了一个方向)问题[1]。干涉仪测相位差测向体制普遍应用于低轨无源测向系统，是一种重要的测向体制。当前关于相位差干涉仪解模糊的研究主要集中于解由于逆三角函数多解性导致的长基线干涉仪测向模糊问题。例如，文献[2]介绍了长短基线法和有模糊的分数阶基线比解模糊法，文献[3]介绍了虚拟基线解模糊法，文献[4]提出了立体基线法，文献[1]提出一种正交长基线匹配解测向模糊的方法，并建立了该方法正确解测向模糊的概率模型。

某些情况下，采信错误解测向模糊的结果带来的损失远较放弃正确解测向模糊结果的损失大，但是关于判断解测向模糊是否正确方面的研究尚未见报道。本文就多基线干涉仪测向方法，研究其是否正确解测向模糊的判别问题，提出基于相位差拟合误差均值与方差假设检验的测向无模糊判断方法。该判断方法的显著性水平(对应于误判风险)可根据具体应用需求优化选择。此外，根据实际应用需求，开展正确解模糊后的测向误差分析，提出了真实辐射源方向落入方向锥角范围的概率估计的方法。仿真试验验证了本文提出的正确解模糊判别方法的有效性与误差分析方法的正确性。

1 测向解模糊显著性判断

多基线干涉仪测向方法具有一定的解模糊能力，但是存在相位差测量误差和测向基线较长时，辐射源方位和虚假点的相位差拟合误差接近甚至大小颠倒，测向目标函数可能有多个峰值[1-2]。

如图1中有多个峰，直观上最高峰与其余峰高度差异较大，最高峰对应测向结果较可信，而图2中最高峰与次高峰高度接近，此时选择最高峰对应辐射源位置有可能出错。

图1 测向目标函数最高峰与其余峰拟合峰值差异较大

图2 测向目标函数最高峰与次高峰拟合峰值接近

考虑到相位差的拟合误差呈独立同分布N(0,σ2)，σ未知，考虑用以下方法剔除假峰：

(1)在给定的显著性水平下，用t检验法[6]对最高峰与其它峰相位差的拟合误差的均值是否相等检验，剔除所有与最高峰均值不相等的峰；

(2)在给定的显著性水平下，用F检验法对相位差的拟合误差的方差是否相等检验，剔除所有与最高峰方差不相等的峰。

通过以上处理后，若仅留下一个峰，则判断该峰对应真实辐射源位置，否则存在该显著性水平下无法分辨的测向模糊，则此次测向结果不可采信或需引入额外信息消除模糊。

2 测向误差分析

解模糊后(即章节2中m=2,…,M对应的测向结果均被剔除的情况)，应用中关心的不仅是辐射源方向的点估计，还包括估计误差的分析。基于这样的考虑，本节给出相位干涉仪的测向误差分析。

天线坐标系下，干涉仪天线阵第i次测量的第j条基线dji=(dji1,dji2,dji3)T上的相位差可以表示为：

pji=2πf/c·(ui,dji)+nji=

2πf/c·(cosθcosφdji1+cosθsinφdji2)+nji

≜hji(θ,φ)+nji,j=1,…,K

(1)

式(1)中，nji为测量误差，ui=ri/‖ri‖，ri为天线坐标系下第i次测量辐射源的位置矢量，‖x‖表示矢量x的模，(x,y)表示矢量x与y的内积。

以矩阵形式表达，有：

pi=hi(θ,φ)+ni

(2)

将hi(θ,φ)在η0=(θ0,φ0)T处做线性近似，记作h0=hi(θ0,φ0)，Δη=(Δθ,Δφ)T，η=η0+Δη。hi(θ,φ)在η0的Jacobian矩阵为G(K×2)，则有：

pi≈h0+G·Δη+ni

(3)

记ni的协方差矩阵为wi=σ2·I(K×K)，σ2为相位差测量误差方差，I(K×K)为单位矩阵。则Δη的最小二乘估计为：

(4)

因此，η的估计为：

(5)

[-(x-η0)TΣ-1(x-η0)/2]

(6)

R={x:(x-η0)TΣ-1(x-η0)≤k}

(7)

实际应用过程中，比较关心的问题是：给定某次测向结果(θ0,φ0)(对应测向线S0)，计算真实辐射源方向落入方向锥角ψZ范围的概率Pz，其中ψZ为以测向线S0为轴线，所有与S0夹角为φz的测向线构成的锥角。图3给出上述各测向线与角度的关系示意图[3-4]。

图3 测向线与角度关系示意图

为考察上述问题，首先明确给定某次测向结果(θ0,φ0)，锥角范围的表达。天线坐标系中，给定两直线S0、S1，其中S0的俯仰、方位角为(θ0,φ0)，S1的俯仰、方位角为(θ1,φ1)，则两直线之夹角φi满足：

cosφi=sinθ0sinθ1+cosθ0cosθ1cos(φ0-φ1)

(8)

根据式(8)，则对于锥角φz范围内的任何测向线S1，均应满足：

sinθ0sinθ1+cosθ0cosθ1cos(φ0-φ1)≥cosφz

(9)

给定(θ0,φ0)，根据式(9)求解(θ1,φ1)为一个多解问题，且解析式难以求取。为此，可考虑借助计算机以网格搜索的方式求得满足式(9)的(θ1,φ1)，并代入式(6)求取真实辐射源方向落入该网格的概率，最终求得所有满足式(9)的测向线(以测向网格近似)的概率密度总和，即为：真实辐射源方向落入方向锥角ψZ范围的概率Pz。上述计算过程可分为以下几步：

(1)给定某锥角φz，选定所有可能的(θ1,φ1)范围，即0°≤θ1≤90°，0°≤φ1≤360°；

(2)对所有可能的(θ1,φ1)范围划分网格，并以该网格中心(θ1i,φ1i)代表该网格的方位、俯仰角，记所有满足式(9)的网格数为N；

(3)计算每个(θ1i,φ1i)是否满足式(9)，若满足则进一步求取真实辐射源方向落入该网格的近似概率

P(θ1i,φ1i)=1/[(2π)|Σ|1/2]·exp

[-(η1i-η0)TΣ-1(η1i-η0)/2]·Si

(10)

式中，η1i=(θ1i,φ1i)T，Si为网格的面积；

(4)累计所有满足式(9)的网格的P(θ1i,φ1i)，即有：

[-(η1i-η0)TΣ-1(η1i-η0)/2]·Si

(11)

3 仿真分析与验证

仿真和计算的条件为：辐射源入射角为(θ,φ)=(31.2°,110.5°)，测系统采用均匀五元阵测量相位差，相位差测量均方根误差σφ=5°,10°,15°，基线/波长=1.5、2.5、…、8.5；显著性水平α=0.1，置信概率P=0.9。

对图1和图2中的数据进行检验，结果见表1和表2。由表1和表2中的结果，图1中最高峰对应正确解，而本文提出的统计分析方法正确剔除了副峰；图2中最高峰对应错误解，本文提出的统计分析方法拒绝了该结果。可见，直接采信最高峰对应的测向结果可能带来很大的误差。

表1 测向解模糊显著性判断(最高峰与次高峰)

表2 测向解模糊显著性判断(最高峰与次高峰)

根据章节3提出的方法，表3第一行给出了图1中的数据分析所得的不同φz对应的Pz。另一方面，在(θ,φ)附近(θ、φ变化范围均小于0.1°)统计500次正确解模糊时测向结果与实际方向的夹角，结果如表3第2行所示。由表中结果可见，本文给出的误差分析方法具有较高的准确性。

取显著性水平α=0.1，置信概率P=0.9，对相位差测量均方根误差σφ=5°,10°,15°，基线/波长=1.5、2.5、…、8.5各进行500次蒙特卡罗仿真，得到:(1)正确判别解模糊比例，包括最高峰对应辐射源真实位置时剔除副峰(记为真—真)和最高峰对应虚假位置(记为假—假)时保留副峰(即无法解模糊)的两种情况；(2)最高峰对应虚假位置时剔除副峰(即错误解模糊)比例(简记为假—真)；(3)最高峰对应辐射源位置时保留副峰(即无法解模糊)的比例(简记为真—假)。判别次数与比例分析情况见表4。

表3 图1中的数据分析所得的不同φz对应的Pz

表4 不同相位差测量均方根误差及基线/波长比情况下的判别次数

根据表4的结果，在仿真考虑的参数范围内：

(1)大多数情况下，假-假比例/假-真比例>3，证明提出的统计分析方法能有效剔除假峰；

(2)应用中最关心的是误判比例。采用提出的统计分析方法的误判比率rs为：B/(A+B)，而仅采信最高峰对应的测向结果方法的误判比率ro为：(B+D)/(A+B+C+D)，其中A:真—真，B：假—真，C：真—假，D：假—假。图5给出了σφ=10°和σφ=15°情况下不同基线/波长时的rs和ro。图4中，对于σφ=10°和σφ=15°，基本均有rs>ro,说明提出的统计分析方法能有效降低误判比例。

图4 σφ=10°和σφ=15°情况下不同基线/波长时的rs和ro

当然，在基线/波长与σφ均较大时，两类方法的误判比例均较高，虽然采用提出的统计分析方法能一定程度降低误判比例，但误判比例绝对值已较高，说明该情况下已不再适宜采用本文考察的测向体制，需考虑新的测向体制或引入额外信息以解除模糊。例如，对于σφ=15°，基线/波长=6.5的情况，采用均匀八阵元相位干涉仪测向体制及提出的统计分析方法，得到的误判比例为12.6%，显著低于上述均匀五阵元相位差干涉仪测向体制的31.4%。

实际应用过程中，受限于尺寸、重量、布局等，显然无法无限制地增加阵元，对于误判比例较高的情形，另一种建议的方式是增加一次测向时的相位(或相位差)采集次数。例如，表6给出了σφ=15°，基线/波长=6.5的情况下，采用均匀八阵元相位干涉仪体制一次测向相位采集1次及10次相位数据的判别次数统计结果。显然，一次测向相位采集10次相位数据的判别结果显著优于仅采集1次相位数据的判别结果。当然，采用增加一次测向相位采集次数的方式降低误判比例的方式要求多次相位采集均对应于固定的辐射源方向，这对于运动平台而言是难以做到的，必须将相位采集时间限制在很短的时间内。对于具体应用，一次测向时相位采集次数仍需根据实际参数情况予以优化[5]。

表6 判别次数统计结果

本文基于多阵元平面阵多基线干涉仪测向体制探讨测向模糊的统计分析方法。值得指出的是，本文探讨的多基线干涉仪测向模糊统计分析方法不仅适用于多阵元平面阵干涉仪体制，对于采用最小二乘法，因而测量相位差与理论相位差的偏差应满足式(12)的其他干涉仪测向体制，该统计分析方法仍适用：

(12)

式(12)中，求模函数mod(A,B)指求A相对于B的余数，ψ′为测量相位差，ψ为理论相位差，ε为呈均值为0方差为σ2的正态分布的测量误差。

4 结 语

测向系统相位模糊或错误解相位模糊将对正确测向造成影响，简单地采用相位差、角度差或距离差最小化不能保证正确测向，而通过统计方法给出测向结果无模糊的定量判据，可以减少错误测向，对测向结果的采信具有较大的意义。

[1] 陆安南. 一种长基线组合二维角测向方法[J]. 数据采集与处理，2012，3(27)：385-388.

[2] 梁双港. 基于相位干涉仪测向算法的定位技术研究[D]. 2006，西北工业大学.

[3] 韩广. 干涉仪快速测向算法的研究与实现[D]. 2010，解放军信息工程大学.

[4] 谌丽，陈昊，肖先赐. 五元均匀圆阵干涉仪加权测向算法及解相位模糊的条件[J]. 电子对抗，2004，(1)：8-12.

[5] 盛骤，谢式千，潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 北京：高等教育出版社，2010.