新课标背景下数学核心素养的理论意蕴与实践要求

武丽莎，朱立明

2018年1月，教育部印发了《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课程标准(2017年版)》)，本次课程标准的修订，充分借鉴了国际课程改革的优秀成果，在国际数学教育视野中结合我国实际情况，构建了具有中国特色的新时代数学课程标准。与2003年《普通高中数学课程标准(实验稿)》相比，《课程标准(2017年版)》最大的亮点之一是凝练、提出并落实数学核心素养，这充分体现了我国数学课程与国际核心素养体系的对接，也是《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中关于研究提出各学段学生发展核心素养体系具象体现。本文基于《课程标准(2017年版)》中数学核心素养的要求，阐述理论意蕴，进一步提出教学实践的相关要求。

一、数学核心素养的课标解读

关于数学核心素养的研究有很多，不同学者从不同视角尝试着对其进行描述，虽然没有达成一致共识，但基本上都是围绕学生发展核心素养体系在数学领域的学科化。在《课程标准(2017年版)》中明确指出：“数学核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合表现，是在数学学习与应用的过程中逐渐形成与发展起来的，数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。”[1](P4)具体如表1所示。

从《课程标准(2017年版)》中关于数学核心素养的阐述，至少可以得到以下四方面信息：第一，数学核心素养与数学基本特征是密不可分的，如图1所示。数学基本特征表现为抽象性、严谨性与广泛应用性，将其与数学核心素养进行比对，不难发现，数学抽象与直观想象表现为抽象性，逻辑推理与数学运算表现为严谨性，数学建模与数学分析表现为应用性。第二，数学核心素养具有内隐性与外显性，其内隐性表现为学生的数学思维品质、情感、态度与价值观，而外显性表现为学生的关键能力。这种双重性决定了数学核心素养不是具体的数学知识与数学技能，也不是一般意义上的数学能力。数学核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，凌驾于数学思想与数学方法之上。[2]第三，在高中数学课程中，数学核心素养具有三个特征：一是能够通过后天培养获得，我们可以在学习数学与应用数学的过程中发展学生的数学核心素养；二是与特定情境相关，情境包括现实情境、数学情境和科学情境，而我们所涉及的问题都是情境中的数学问题；三是可以借助外在行为进行表现，这一特征决定了数学核心素养的可测性，通过学生的外在表现，对学生数学核心素养的发展水平进行测评。第四，六个数学核心素养之间并不是孤立的，而是相互联系的，例如，直观想象与数据分析中也蕴含着数学模型，运算能力在一定程度上也是一种逻辑推理，所以，六个数学核心素养彼此形成“合力”，共同促进学生数学思维品质与关键能力的形成。

表1.数学核心素养的内容描述[1](P4-7)

图1　数学核心素养与数学基本特征关系结构

二、新课标背景下数学核心素养的理论意蕴

(一)决定数学课程目标的价值取向

随着数学核心素养体系的提出，“立德树人”成为我国教育的根本任务，摆脱传统的“教材中心”、“课堂中心”、“教师中心”思想的束缚成为高中数学课程的主旋律。《课程标准(2017年版)》中提出数学课程目标：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称‘四基’)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称‘四能’)。”[1](P8)与传统的数学课程相比，“四基”不再将“双基”作为静止的技能和工具进行传授，同时关注数学思想与学生基本活动经验。艾斯纳(E.W.Eisner)和麦克尼尔(J.D.McNeil)对课程取向进行归纳，认为学术理性主义取向的课程以永恒主义和要素主义为基础，以学科知识和教师为中心，培养有知识、有智慧的人，促进智力的发展，要求学生掌握永久性知识、技能和价值观，强调传统学科知识的价值；人本主义取向的课程以进步主义和人本主义为基础，关注学生的经验、兴趣和需要，重视促进学生的自我激励和支持，强调人的整体发展，尤其是自我概念的形成。[3](P100)从价值取向来看，高中数学课程目标不是以学术理性为倾向，也不是单纯抛弃数学内容，忽略数学知识，以人本主义为倾向，而是理性与人本相互融合的价值取向，其目的在于将数学的学术形态转变为学习者能够接受的教育形态。高中数学课程应该重视数学中最本质的内容，以学生发展为本位，帮助学生形成正确的世界观、人生观、价值观，最终让学生具备能够实现其终身学习的数学知识、数学能力、数学思想和数学方法。

(二)制约数学课程内容的结构设置

数学课程内容主要由直接经验和间接经验两种性质的数学知识构成，数学知识是数学课程内容的核心，如何从浩如烟海的知识宝库中精选出学生必备的数学知识，成为当今数学课程实践中最复杂的问题，是选择“知如何”(knowing-how)的知识，还是选择“知什么”(knowing-what)的知识？是更多的数学史介绍，还是数学运算与证明？传统教育是以数学知识结构及其发展逻辑为依托来确定课程内容的，这样会使所选内容难度过大，对学生发展没有保障。在数学核心素养思想的指导下，遴选那些能够提升学生数学核心素养的知识，来解决知识的无限与学习时间有限的矛盾，数学核心素养成为课程内容的宽度与深度选择的重要依据。我们可以看到，在《课程标准(2017年版)》中的课程内容建构了四条主线(函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动)之外，还融入了数学文化、大学先修课程等内容[1](P9)，将数学基础知识与基本技能融入数学文化之中，从数学文化的视角观察数学课程，用数学课程来审视数学文化，追求数学知识的来龙去脉，重视培养学生对数学的过去、现在与未来的了解，感悟数学知识的产生是一个“去繁存简”的抽象过程，例如著名的“七桥问题”就是从具体“路”与“桥”的现实情境中抽象出拓扑性质。这些源于教材、高于教材的课程内容，体现出数学知识的逻辑性、生成性、完整性和连续性，既有利于学生对于知识的理解和掌握，又能提高学生的数学观念，让学生在数学学习中获取能够融入社会生活所必需的核心素养。希冀借助数学内容的学习，能够实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

(三)影响数学课程评价的测评方案

数学课程评价是对整个数学课程的监控与反思，包括课程资源和教材的评价、学生学业评价、教师施教评价等，传统的课程评价在功能与方案的选择上，更倾向于总结性评价，评价过程中的价值判断都无法避免主观性，要得到一个固定的、客观的、标准化的答案并不现实，当课程评价方案体现学生中心时，必然会遭到学科中心主义者的反对，反之也是如此，那么如何在学科要求和学生兴趣之间寻求一个平衡点，我们就可以从培养学生的核心素养出发，来确定评价的功能与方案。数学核心素养是数学知识的“盟友”，同时也是学生要必备的关键品质，它可以更好地引导数学课程评价，实现其评价功能。例如，对数学教材进行评价，我们就要关心教材内容是否反映数学的基本结构和发展方向，是否能够为培养学生核心素养而服务；对教师的施教评价，关注其能否在教学活动中渗透核心素养的培养，是否关心学生的参与程度，因为核心素养的形成依赖学生参与其中的数学活动。对于学生的评价，我们抛弃“成绩决定一切”的终结性评价，重视学生的态度、情感以及心理行动能力的培养，关注学生在教学活动中的情感性、创造性、发展性、可塑性。这样基于核心素养的数学课程评价可以启发学生独立思考能力，积累学习经验，从而养成良好的学习习惯。

三、新课标背景下数学核心素养的实践要求

核心素养体系的构建虽然已经完成，但不应该也不能被定格成高度抽象的理论框架，我们最关心的问题还是能不能更好地贯彻落实。学生核心素养的发展需要借助学科核心素养，离开学科核心素养去培养核心素养会事倍功半。[4]如何在关注学生终身发展的连续性和阶段性基础上，根据数学本质特征与核心素养体系形成不同教育阶段的数学核心素养，彰显数学学科对核心素养的支撑和贡献，是亟待解决的问题。我们分别从数学知识、数学技能、数学交流、数学情感、数学思维五个方面出发[5]，扼要阐述数学核心素养的实践要求。

(一)数学知识：从静态知识观走向动态知识观

首先，我们应该基于数学核心素养重新审视和选择数学知识，从单一的、预设的、静态的知识观转向综合的、生成的、动态的知识观，解决知识的无限与学习时间有限的矛盾。数学知识是关于数学概念的，而数学概念解释了数学世界与现实世界中所存在的数学规律。对于规律或事物的体验是不断变化、不断深化的，概念的内涵因而是不断变化、不断丰富的。正如拉尔夫·泰勒(Ralph W. Tyler)曾指出：“为了达到某一目标，学生必须具有使他有机会实践这个目标所隐含的那种行为的经验。”[6](P23)这意味着关注学生自身发展的数学核心素养是遴选数学知识的逻辑起点。

其次，数学知识的教学既要结合数学学科逻辑，又要尊重学生心理逻辑，避免两种逻辑的分裂。从数学史的视角来看，数学学科逻辑是数学知识发展与形成的时间轴线，也是专家共同体在数学学科上的一种意识形态。从学习心理学的视角来看，心理逻辑反映着学生的认知水平与心理特征，决定学生的学习能力。单纯强调哪一种逻辑的编排顺序都是盲目的，以数学核心素养为中心组织数学知识教学，旨在寻求两者和谐统一的支点。尤其是，当我们明确了学生在不同教育阶段、不同学科应该实现的数学核心素养及其水平要求之后，便可以根据数学课程的需要，结合本学科、本学段的数学核心素养来安排数学知识的学习。例如，对于数学抽象，我们可以借助函数、向量等内容加以渗透。

(二)数学技能：从技巧机械训练走向学科任务驱动

首先，我们需要明确数学技能绝不是技巧的训练，不是借助题海战术掌握各种题型的解题“套路”。这种机械训练过度追求操作与题型之间的“定向性”对接，忽视了应有的数学思考与数学感悟，不仅削弱了学生的主动性与创造性，还会僵化学生思维，丧失思维的形成与发展，而结果只是获得了一些数学解题技巧，并非实质的数学技能。数学技能需要一个循序渐进的学习过程，在这个过程中，我们时刻要重视运用学习的正向迁移规律以促进数学技能的有效提高，避免学生形成思维定势或造成思维混淆。学生掌握数学技能有利于促进原有知识自动化、约束化、结构化。

其次，数学方法可以分为三个层次：具体方法(数学学科内部)、一般方法(数学学科外延)、哲学方法(超越数学学科)。具体方法是指数学问题或数学任务解决所运用的数学逻辑推演方式；一般方法是指数学学科做为科学应用于其他学科的一种工具；哲学方法是数学学科中的辩证思想。[7]数学技能的基础是数学知识，但不同于知识。借助数学具体方法可以建立数学技能的基本形态。当学生接受单一数学问题或任务时，引导学生联想与该问题或任务相关的数学知识，数学技能的目标在于数学任务解决，是方法导向的。明确问题或任务解决的过程和结果，在头脑中激活对数学知识的识别功能，产生直觉期望，初步建立数学技能的基本形态；借助一般方法可以建立数学技能的综合形态。数学核心素养促进了核心素养体系与学科之间的融合，借助学科的哲学方法可以建立学科的高级形态。其实，在每一个学科中，都存在着辩证的思想方法，在数学中，这些方法包括归纳与演绎、分析与综合、抽象与具体，辩证思想方法是超越数学学科自身的，能够帮助学生正确认识和把握数学直觉，用以解决数学问题或任务，最终形成数学技能的高级形态。

(三)数学交流：从学科内部交流走向跨学科交流

首先，弱化数学核心素养的分科形式，重视从“分”到“合”过程的本质意义。传统意义上学科界限的存在，不仅从理论与实践两个方面束缚了跨学科交流，而且会导致对某一学科的研究过于片面与局限，难以从一个更广阔的视野来审视本学科的发展，在核心素养的时代，学生的文化基础、自主发展、社会参与等方面的核心素养不是仅靠某一个学科来培养，而是要借助学科间的共同作用。因此，我们对学科的分科观念也要顺应教育需求的新发展，从多元视角来关注对核心素养有重要影响的跨学科交流。

其次，以数学学科为基础，实现学科之间的交流与融合。从国际经验来看，很多国家和地区都将学生核心素养的具体指标直接分解到不同的学科之中，形成学科核心素养，强调跨学科交流的统整性与科学性，既可以明确地看到如何通过不同课程的合力共同培养出学生的核心素养，也可以看到不同课程在培养学生核心素养方面的侧重。[8]从学生跨学科交流出发，有利于打破数学学科界限，促进学科融合，例如，数学的逻辑推理、物理的科学思维、化学的科学精神与社会责任、生物的理性思维之间是相通的，都可以由此来培养核心素养的科学精神，而且这四个学科之间也具有类似的符号语言体系，以核心素养为宗旨，加强这样学科之间的相互合作，进而促进跨学科交流的实现。

(四)数学情感：从被动灌输走向积极体验

首先，改变学生在课堂被动灌输的观念，树立积极数学情感意识。积极数学情感是学生经过长期积淀的、已经内化的一种深层次学习情感，积极数学情感与学生数学成就之间形成一个良性循环。当然，学习数学未必要成为数学家，也并不意味着今后一定能够对数学直接应用，更多还是在培养有思想的、和谐的、有责任心的人。而作为一个全面发展的人，其健全的心理表现与积极数学情感的具体表现是一致的。

其次，数学情感使人自立、自主、自动，是人的学习意向的集中体现。借助数学发展史，让学生积极体验，在体验数学发展历程中培养学生的数学情感。每个学科形成如今的学科体系，虽然不同学科有各自不同的发展历史，但是学科情感却是相同的。在古今中外的学科历史长河中，精辟的数学思想、传奇的数学家轶事、严重的三次数学危机、智慧的数学灵感、成功的喜悦和失败的教训，都可以成为积极数学情感。数学情感是数学各领域学习中共存的，它属于隐性的心理结构，不是明确的数学知识，而是意会性知识，不能通过传授而直接获得，必须让学生在过程性学习中通过积极的体验来获得。

(五)理性思维：从表层传授走向模式构建

首先，我们需要改变对数学思维的传统认识。数学理性思维不只是静态的数学知识与技能，也是某类解决问题的方法，它是一种探寻数学问题解决与评价的思维模式[9]，其植根于数学课程内容之中，是数学课程的灵魂，也是数学课程与“人的必备品质与关键能力”相联结的本质之所在。数学理性思维之于数学内容的严谨性，始终是数学的一个鲜明特征，正如费马猜想让历代数学家花费358年的时间才证明其真实性，而费马数仅产生了5个素数就被欧拉送上“断头台”，这便是数学理性思维与逻辑推理的“功劳”。当今科学技术日新月异，知识形态更是丰富多彩，人们需要理性思维，用批判的眼光来审视知识，因此，缺少理性思维的数学课程犹如人无灵魂，黯然失色，也只有联结数学理性思维的数学课程，才能使核心素养产生价值和意义。

其次，我们要改变对数学理性思维的培养方式。根据上述特征，数学理性思维的培养并非一劳永逸，是一个长期的、复杂的、系统的心理学习过程，这不是“教”出来的，而是“悟”出来的，是在升华教材数学知识背后的材料及开展学习活动过程中建立与发展起来的。因此，我们不能利用“传授——接受”的教学方式，停留在训练层面，而是要创设“探究式”的教学情境，采用“问题链”的教学方法，引导学生经历“质疑——探疑——答疑——释疑”的学习过程，这样可以使学生身临数学“场域”，借助参与式学习活动，通过反思性教学将数学理性思维潜移默化地转为学生内在思维品质，让学生经历可思维、善思维、乐思维的过程，从而领会和感悟形成理智的、稳定的、可迁移的思维模式。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015(9).

[3] 钟启泉，汪霞，王文静.课程与教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[4] 邵朝友，周文叶，崔允漷.基于核心素养的课程标准研制：国际经验与启示[J].全球教育展望，2015(8).

[5] 蔡金发，徐斌艳.也论数学核心素养及其构建[J].全球教育展望，2016(11).

[6] [美]拉尔夫·泰勒.课程与教学的基本原理[M].施良方，译.北京：人民教育出版社，1994.

[7] 朱德全.数学素养构成要素分析[J].中国教育学刊，2002(5).

[8] 核心素养研究课题组.中国学生发展核心素养[J].中国教育学刊，2016(10).

[9] 朱立明.基于深化课程改革的数学核心素养体系构建[J].中国教育学刊，2016(5).