南极5 m太赫兹望远镜指向与调焦校准精度分析∗

康浩然左营喜 娄 铮 何茜茹

(1中国科学院紫金山天文台南京210008)

(2中国科学院大学北京100049)

(3中国科学院射电天文重点实验室南京210008)

(4中国科学技术大学天文与空间科学学院合肥230026)

1 引言

南极5 m太赫兹望远镜(DATE5)是南极昆仑站天文台第1阶段可能建设的两个主干天文观测设备之一,它采用卡塞格林式天线,规划工作波段包括450µm(0.6–0.72 THz)、350µm(0.78–0.95 THz)和200µm(1.25–1.55 THz).DATE5指向精度要求优于2′′,等效反射面精度要求优于10µm(包含主副反射面的面形精度、主副面之间的定位对准精度以及重力、热和风载变形影响等)[1].

由于望远镜的制造与装配误差、大气折射以及重力与热变形的影响,望远镜的指示位置与天体的实际位置总是存在偏差,称为指向误差[2].因此需要通过对强辐射天体点源的观测,建立指向误差模型,以修正不同方位俯仰等工况下的天线指向.

由于满足要求的太赫兹点源很少,DATE5将借助于1个装于天线背架的光学指向望远镜,通过对光学亮星的观测快速获得足够多的指向误差数据,拟合得到满足全天区精度要求的指向误差模型.即便如此,由于光学指向望远镜初始安装偏差以及重力和热变形等因素影响,还需要对射电点源(同时也是光学亮星)进行校准观测,获取太赫兹和光学望远镜两光轴指向偏差模型[3].

另一方面,由于重力和热变形影响,天线主反射面的焦距和轴线会随工况而变化,副面支撑杆也会产生弯沉和伸缩.天线工作过程中,需要根据天线俯仰、温度分布等工况以及预知的变形模型,实时调整副面位置使之与主面最佳吻合抛物面相匹配,才能最终满足望远镜等效反射面精度要求.此过程称为调焦,相应的变形模型称为调焦模型.建立和验证调焦模型最有效和直接的方法同样是天文观测法,通过跟踪观测强射电点源实现[4−5].

我们拟在国内西部测试场地,通过为DATE5望远镜配置适应当地大气透过率条件的较低频段测试接收机,用跟踪观测强射电点源的方法,建立调焦模型和两光轴指向偏差模型.但最终仍需要在台址Dome A现场,通过天文观测法精确修正副面及光学指向望远镜的初始安装偏差,并验证和优化已建立的模型.

本文主要针对660 GHz工作频段,挑选在南极可以用来验证相关模型的候选校准源,并对指向校准与副面调焦所能达到的精度进行估算.

2 测量精度要求与校准源选择

2.1 测量精度要求

毫米波与亚毫米波望远镜做指向校准时,常用的方法之一是对点源目标做5点观测,即在天线正对目标以及目标的上下(俯仰角EL方向)、左右(方位AZ方向)、偏开0.5个半功率波束宽度(HPBW)的5个位置分别进行观测,然后在AZ和EL平面分别做3点高斯曲线拟合,得到最大值点.在调焦时,可以通过将副反射面沿天线主光轴或垂直于主光轴方向移动到多个不同的位置处进行观测,然后拟合出高斯曲线的最大值点.这两个问题本质上都是高斯曲线的参数拟合.待拟合的高斯曲线可以表示为:

其中,a1是曲线的峰值;x0是最大值点,对应于指向校准中射电源的实际位置或调焦中准确的焦点位置;ω是半高全宽.Richter和Condon曾详细分析过高斯曲线拟合中各个参数的误差[6−8],其中,1维情况下x0的标准差为[6]:

其中,∆TA为被测源引起的天线温度增量;∆TRMS为系统噪声温度的均方根起伏.下文主要以(2)式为基础进行分析.

工作在最高频率1.5 THz时,DATE5望远镜的半功率波束宽度(HPBW)约为10′′,指向精度为2′′,而副面调焦造成的增益损失要求保持在1%以下.本节主要依据这两个指标,计算所需要的测量精度,并估计所需校准源的流量密度.

由于在1.5 THz工作时,系统温度Tsys较大,大气透过率t较低,加之天线的波束宽度(HPBW)与许多校准源相比都非常小,这都为指向校准与调焦带来了困难.因此,在南极现场测量时,使用最低工作频率660 GHz.边缘锥销为−12 dB时,天线的HPBW约为22′′.采用5点测量法,分别在AZ和EL平面内做3点高斯拟合,采样位置一般为xi/ω=[−0.5,0,0.5],代入(2)式可以得到:

其中,αϕ为指向校准的误差因子.由于指向精度要求为2′′,而希望单点测量的随机误差可以忽略,因此标准差(σϕ)应该比2′′小1个数量级,取为0.2′′,将这一要求代入(4)式,可以得到SNR为56.

相比指向误差,副反射面的位置误差分析会更为复杂.根据Ruze的理论[9−10],轴向移动δz主要的影响是降低增益,而径向移动δx、δy则同时影响天线的指向和增益.与轴向相比,径向移动对增益的影响较小.图1与图2分别是仿真得到相对增益G与副面轴向移动δz、径向移动δx之间的关系,其中λ为波长.由于δy与δx造成的影响是完全对称的,故省略.

图1 相对增益与副面轴向移动δz之间的关系Fig.1 The relation between relative gain and sub-reflector axial movement δz

图2 相对增益与副面径向移动δx之间的关系Fig.2 The relation between relative gain and sub-reflector lateral movement δx

如前文所述,对图1与图2中的结果进行最小二乘拟合,可以得到半高全宽ω分别为1.56λ与7.39λ,为了避免混淆,定义与δz相关的半高全宽为ωz,标准差为σz,而与δx相关的半高全宽为ωx,标准差为σx.进一步计算,可以得到1%增益损失所对应的δz为0.09λ,δx为0.45λ.采用将副反射面移动到5个不同位置的方法进行调焦,采样位置为xi/ω=[−0.5,−0.25,0,0.25,0.5],并代入(2)式,得到:

其中,α为副面调焦的误差因子.在1.5 THz时,工作波长为200µm,为保证副面的定位精度,副面位置测量的标准差σz应小于0.03λ (即δz/3),为6 µm;σx应小于0.15λ (即δx/3),为30µm;而在测量频率660 GHz,工作波长为454µm,将这些结果代入(5)式,可以得到SNR分别为46与43.

为了估算校准源所需的流量密度,需要计算接收机灵敏度∆TRMS.根据DATE5的设计指标,660 GHz接收机的噪声约为10倍量子噪声极限,即TRX=317 K.在不考虑旁瓣与后瓣的影响时,系统噪声温度为:

其中,TA为天线温度.在观测时,大气辐射对天线温度的贡献依赖于不同的观测俯仰.由于此节仅进行初步的估计,假设TA为最大值200 K,即Tsys=517 K.接收机带宽B=4 GHz、系统常数k′=2,假设积分时间τ=[1 s,5 s,10 s],代入接收机灵敏度公式:

得到∆TRMS=[16.35 mK,7.31 mK,5.17 mK].DATE5望远镜的口径为5 m,则灵敏度为[11]:

其中,D为天线直径;k为玻尔兹曼常数;ηA为口径效率,在边缘锥销为−12 dB时,不考虑天线表面偏差的情况下,ηA=86.6%.对于理想点源,天线温度增量与流量密度之间的关系为:

根据(7)–(9)式以及上文中的分析结果,可以计算指向校准与副面调焦所需的流量密度,结果如表1所示.由于在太赫兹波段,大气对电磁波的吸收作用非常强,加之天线波束相对较小,很多校准源并不能简单地等效为理想点源,下文将会讨论这些问题,并更精确地估计测量过程的随机误差.

表1 不同情况下所需的最小校准源流量密度Table 1 The minimal flux density of calibration sources required in di ff erent scenarios

2.2 校准源选取

在太赫兹波段,常用的校准源为行星、类星体与伽利略卫星[12],而部分超致密电离氢区也可以提供足够的流量密度[13−14].如上文所述,由于流量密度的限制,DATE5望远镜只能使用太阳系内的行星、超致密电离氢区作为指向校准与副面调焦的候选射电源.下面分别讨论这两种射电源的可行性.

根据DATE5望远镜所在地的经纬度(77◦21https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi′E,80◦22′S),可以推断其只能观测到赤纬δ<9◦38′的射电源.因此在选择校准源时,应当考虑射电源所能达到的高度角.木星、土星、天王星和海王星的公转周期分别约为12、29、84与164回归年,赤纬变化得非常缓慢.假设DATE5在2023年到2025年进行安装调试,根据JPL(Jet Propulsion Laboratory)星历的数据,这4颗行星中土星有相对较好的观测条件1https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi;水星、金星与火星的赤纬变化相对较快,其视角直径和流量密度也在不断改变.图3与图4分别是水星、金星、火星与土星从2023年到2025年的赤纬与角直径变化.在使用行星进行指向校准与副面调焦时,需要同时考虑赤纬和角直径,只有在合适的条件下才可以进行校准.

图3 水星、金星、火星与土星的赤纬变化Fig.3 The declinations of Mercury,Venus,Mars,and Saturn from 2023 to 2025

图4 水星、金星、火星与土星的角直径变化Fig.4 The angular diameters of Mercury,Venus,Mars,and Saturn from 2023 to 2025

行星中的水星、金星、火星与土星是较为适宜的校准源.根据现有的模型与观测数据,可以估计行星在660 GHz的亮温度TB.亮温度与流量密度的关系为[11]:

其中,∆Ω为源的立体角.如表2所示,假设行星是均匀的面源,可以计算得到各个行星的流量密度,结果表明水星、金星、火星与土星可以提供很强的流量密度进行校准,满足表1中的要求.

超致密电离氢区在亚毫米波段拥有较强的尘埃连续谱辐射,并有较小的角直径,因此部分角直径较小的强源可以作为本文的候选源.参考已有的巡天数据[13]与麦克斯韦望远镜(JCMT)的校准源表[14],本文选择了表3中的几个射电源.

表2 水星、金星、火星与土星在660 GHz的流量密度a[15]Table 2 The fl ux densities of Mercury,Venus,Mars,and Saturn at 660 GHza[15]

表3 部分候选源在660GHz的相关数据aTable 3 The relevant data of candidate radio sources at 660 GHza

综上所述,DATE5望远镜可以使用水星、金星、火星、土星以及部分超致密电离氢区(见表3)进行指向校准与副面调焦,其中,流量密度较大的行星可以覆盖高度角30◦以下的天区,而表3中的源可以将这一范围拓展到50◦.如引言中所述,在南极现场,射电观测法作为验证指向模型与调焦模型的一种手段,并不需要覆盖全天区范围,因此所挑选校准源的天区分布可以满足预期的要求.

3 实际测量误差估计

3.1 大气校正

由于在太赫兹波段,地球大气对观测信号具有强烈的吸收作用,如果要得到实际的天线温度增量∆Ta,需要对大气外的天线温度增量∆T′a进行校正.根据Pre-HEAT观测站2008年在Dome A的观测结果,Dome A拥有世界上最干燥和平静的大气条件:对于冬季,在50%的观测时间内,可降水量(pwv)低于0.14 mm;而在最好的25%观测时间内,可降水量(pwv)低于0.10 mm[16].它们对应的660 GHz大气透过率t约为74%与80%,进而可以得到光学深度τ0分别为0.30与0.22.

光学深度与俯仰角EL之间的关系近似为[12]:

则校准后的∆Ta为:

∆Ta即为大气内望远镜实际的天线温度增量.

3.2 指向校准误差估计

前文中得到的(4)式,假设了校准源为理想点源,但实际的天线温度增量是源亮温度分布与天线波束卷积的结果.考虑到660 GHz工作时,DATE5天线的HPBW约为22′′,而校准源的角直径较大.如图5所示,这会导致天线偏转0.5 HPBW之后测得的功率并不会等于峰值功率的一半,即测得的半高全宽变大,引入更大的随机误差.从图中可以看出,对于源角直径大于1.0 HPBW的均匀面源,测量结果已经不是高斯曲线了,校准时应该避免.

下面我们进一步估计实际条件下,候选校准源能否满足预计的验证要求.假设候选源都为均匀面源,分别选取2023年到2025年间水星、火星与土星的平均视直径7.1′′、6.2′′与17.3′′, 金星较小的视直径20′′, 使用表2中的行星亮温度Tb; 选取表3中的射电源,为简化计算,假设其为圆形并使用表3中拟合得到的角直径,此时估计的随机误差会较实际的情况下偏大.设大气透过率为74%,行星源积分时间1 s,其他校准源积分10 s.为了更加准确地估计随机误差,对表4中的数据进行插值,修正αϕ的数值,使用(4)式估计指向校准的随机误差.图6为仿真结果,当大气条件较好(pwv 60.14 mm),行星的高度角大于5◦,积分时间达到1 s,其他校准源高度角大于10◦,积分时间达到10 s时,指向校准的随机误差RMS小于0.2′′,符合指向校准的要求.

图5 天线扫描不同大小的均匀面源时,归一化天线温度与指向角之间的关系;从上到下,θdisc/HPBW分别为1.5、1.0、0.5、0.1Fig.5 The relation between normalized antenna temperature and pointing angle during scanning of disc sources with different diameters.From top to bottom,θdisc/HPBW are 1.5,1.0,0.5,and 0.1,respectively

图6 通过行星(左)和其他射电源(右)在不同高度角时的指向校准随机误差Fig.6 The random error of pointing calibration for different elevations by using planets(left)and other radio sources(right)

3.3 调焦误差估计

与指向校准类似,在假设校准源为理想点源的情况下,在前文中已经得到了5点拟合时的随机误差,即(5)式.对于DATE5望远镜,轴向调焦的半高全宽ωz为1.56λ,而径向调焦的半高全宽ωx为7.39λ,副面的移动间隔为1/4半高全宽.图7与图8分别是在轴向与径向调焦时,校准源角直径对半高全宽ωz、ωx的影响,仿真时应该进行修正.在轴向调焦时,源角直径应小于1.5HPBW.径向调焦时,应小于2.0HPBW.

图7 天线扫描不同大小的均匀面源时,归一化天线温度与副面轴向位移之间的关系;从上到下,θdisc/HPBW分别为2.0、1.5、1.0、0.5Fig.7 The relation between normalized antenna temperature and sub-reflector axial movement during scanning of the disc sources with different diameters.From top to bottom,θdisc/HPBW are 2.0,1.5,1.0,and 0.5,respectively

图8 天线扫描不同大小的均匀面源时,归一化天线温度与副面径向位移之间的关系;从上到下,θdisc/HPBW分别为2.5、2.0、1.5、1.0、0.5Fig.8 The relation between normalized antenna temperature and sub-reflector lateral movement during scanning of the disc sources with different diameters.From top to bottom,θdisc/HPBW are 2.5,2.0,1.5,1.0,and 0.5,respectively

不同于轴向移动,副面相对于焦点的径向位移会显著改变望远镜的指向,此时需要先补偿移动副面带来的指向偏差.根据仿真,可以得到指向偏差与副面径向移动之间的关系:

其中,∆ϕ为指向偏差.

选取与上一节中相同的射电源,其他条件不变,使用(5)式与表4中的数据估计调焦的随机误差.图9与图10的仿真结果表明:在与前文相同的条件下,轴向调焦的随机误差RMS小于6µm,径向调焦的随机误差RMS小于30µm,符合调焦的预期要求.

表4 对于不同角直径的均匀射电源误差因子α的修正值Table 4 The corrections of error factor α for the disc sources with different diameters

图9 通过行星(左)和其他射电源(右)在不同高度角时的轴向调焦随机误差Fig.9 The random error of axial focusing for di ff erent elevations by using planets(left)and other radio sources(right)

4 总结

根据DATE5望远镜2′′的指向精度以及1%离焦增益损失的指标要求,分别计算得到了指向校准与副面调焦过程中对随机误差的要求,并以此为依据选取了若干可行的候选校准源,包括几个太阳系行星和若干超致密电离氢区.进一步的仿真表明:望远镜在南极工作时,这些校准源在一定的高度角范围内可以提供足够强的流量密度,用来验证在国内测试期间建立的太赫兹和光学望远镜两轴指向偏差模型以及副面调焦模型.本文还分析了大气吸收以及校准源角直径对测量精度的影响,并最终估算了利用上述候选校准源进行指向校准与副面调焦所能达到的实际精度.

图10 通过行星(左)和其他射电源(右)在不同高度角时的径向调焦随机误差Fig.10 The random error of lateral focusing for different elevations by using planets(left)and other radio sources(right)

在单次校准信噪比选取时,我们采用了比较保守的标准.对指向校准源,选择了单次校准测量误差为指向误差要求的1/10,即0.2′′;实际工作时,可以选择0.2′′–0.4′′,原则是单次测量误差对指向模型误差的贡献为小量.另外,对于调焦校准源,选择了单次测量误差为副面定位精度要求的1/3(即3σ原则),实际工作时也可考虑放宽到定位精度要求的1/2.

[1]Yang J,Zuo Y X,Lou Z,et al.RAA,2013,13:1493

[2]程景全.天文望远镜原理和设计.北京:中国科学技术出版社,2003:118-120

[3]Patel N A,Sridharan T K.SPIE,2004,5496:639

[4]孙继先,左营喜,杨戟,等.天文学报,2014,55:246

[5]Wang J Q,Yu L F,Zhao R B,et al.SSPMA,2014,44:1232

[6]Richter P H.TDAPR,1995,122:107

[7]Condon J J.PASP,1997,109:16

[8]Condon J J.PASP,2001,113:362

[9]Butler B J.ALMA Memo,2003:479

[10]Baars J W M.The Paraboloidal Refl ector Antenna in Radio Astronomy and Communication.New York:Springer,2007:66-145

[11]Wilson T L,Rohlfs K,Hüttemeister S.Tools of Radio Astronomy.6th Ed.New York:Springer,2013:201-207

[12]Moreno R,Guilloteau S.ALMA Memo,2002:372

[13]Thompson M A,Hatchell J,Walsh A J,et al.A&A,2006,453:1003

[14]Sandell G.MNRAS,1994,271:75

[15]Butler B.ALMA Memo,2012:594

[16]Yang H,Kulesa C A,Walker C K,et al.PASP,2010,122:490