“综合数感”能否担当数学核心素养之重任

郑义富

当前对于数学核心素养的界定尚无定论。采用“二分法”将公认的素养项逐步排除，科学“求核”，确定“数感”为数学学科的核心素养。构建形如“飞行器”式数学学科素养模型，提出“综合数感”。

一、基于“二分法”视角辨析数学核心素养

“二分法”，一种认识事物的辩证方法，是在“一分为二”观点指导下认识事物的方法。对“二分法”通俗地理解其实就是一种通过不断的排除不可能的东西，最终找到需要的东西的一种方法，所以可以理解成“排除法”。以“二分法”逐步排除“非核心素养”，那么最后剩下的应该就是处于核心地位的素养——核心素养。

经过文献整理，笔者认为目前被广泛接受的数学素养应该就是“十个核心词+抽象”，共11个素养项。如果把这11项都作为数学核心素养显然过于分散且“臃肿”，必须进行“瘦身”，根据“二分法”逐步排除，从而科学地进行“求核”。

首先排除的是不受专业课程局限的，超越学科功能的素养项，也就是“共通性素养”，包括：创新意识、应用意识。应用意识不是只有数学教育才可培养，任何学科都应该注重“学以致用”。而“创新意识”更是超越学科、超越任何教育时段了。因此，二者必然不能算作数学学科的“核心”。

“模型思想”是否就是“核心”呢？模型思想并非独立的数学知识板块，可以说是贯穿数学学习始终，但对于人的培养结果来讲模型思想并非是数学学习的最终目标。模型思想的培养和形成其实综合了各项数学领域或者数学素养。其“与外部世界联系的基本途径”的特性其实就是“应用意识”的培养；“具体情境中抽象出数学问题”说明其门槛是“抽象”；“用数学符号”就是要培养“符号意识”；“建立方程、不等式、函数”“数量关系”“结果意义”等关键词表明其对“数感”培养的要求。经过上述解构，“模型思想”就分解到“应用意识”“抽象”“符号意识”“数感”等素养项中。除非分解后的素养项最后被界定为核心素养，否则，“模型思想”就不能居于“核心”地位了。

在对“模型思想”进行辨析时采用了“分解”的方法，其他几项数学素养还可以结合另一种方法进行分析，这种方法可称为“化归”，或者说是“合并转化重组”。

比如“几何直观”，《课标》（2011年版）解释为“主要利用图形描述和分析问题”。如果我们把几何图形看作是一种“特殊的数学符号”，那么，几何直观其实就是“符号意识”。同理，“空间观念”是“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形描述现实问题”。说到底，空间观念也是一种数学式的空间感悟。因其借助的是“几何图形”，所以也可以归为“符号意识”一类，但是其“抽象”“推理”的特性还是不能忽视。也就是说空间观念可以分解到“符号意识”“抽象”“推理”三个素养项中。

再看“数据分析”“运算能力”“推理能力”“数感”之间的关系。大多数人可能对“数感”的认识有所偏颇，错误地把“数感”与“数字感”等同了。《课标》（2011年版）这样解释：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。显然，“数感”所涵盖的意义要远超“数与计算”。而“运算能力”主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。对“数感”素养解析的关键词“数与数量、数量关系、运算”不就是“运算能力”吗？类似的，“推理能力”所强调的“借助数学基本思维方式推断某些结果，或通过数学法则等进行证明和计算”等等都是“数感”素养或者“符号意识”素养的直接体现。数学推理最终要落在数或运算符号上，以数学特有的符号简明地反映逻辑思考的过程，数或符号的使用同时也促进推理能力的提升。因此，推理能力也可以归为数感一项。“数据分析观念”是指“收集现实生活中数据并进行分析判断，发现规律或解决现实问题”。数据分析虽然属于统计与概率范畴，是统计的核心。但说到底也是对“数”的分析。无论如何“数据”总是“数”，对数据的收集认识理解分析都是对“数”的认识和感悟，何嘗又不是“数感”呢？至此，“数据分析”“运算能力”“推理能力”都可以归为“数感”一项，只不过这时候“数感”的涵义更加丰富更为立体了。

而“符号意识”中的“符号”只是工具或手段，真正的用意是“表示数、数量关系和变化规律”，是要进行“运算与推理”。如果把“数字”也看作一种特殊的数学符号，那么“数感”就是“符号感”。因“符号”在这里必须具有“数学意味”，因此，用“数感”统领二者更为合适。

经过上面的分解、化归，十一个素养项已经排除了九项，只剩“数感”与“抽象”两项了。只有两项处于学科核心地位自然无可厚非。但是，这两项并非彼此“独立”，而是有着千丝万缕的联系，甚至可以整合为一项。数学中对于抽象的表达，主要是通过数字或数学特征鲜明的符号，抽象就是对“数与形”的抽象。因此，抽象也是人对数字或符号的特殊感悟能力。所以，抽象也可以归到数感和符号感合并延展后的“新数感”项中。

由此得出结论，数学中处于核心地位的素养是——数感，也可以说“数感”是数学学科的核心素养。基于前文分析，构建形如“飞行器”式数学学科素养模型，如右图。

二、与时俱进，从“数感”到“综合数感”

事物总是要发展变化的，数学学习的价值观与人才观也要与时俱进。笔者学习借鉴张奠宙先生的“真善美”论述，在原“数感”的基础上进行拓展延伸，提出“新数感”的概念，将“数学综合数感”简称为“综合数感”。综合数感主要是指“通过对数（符号）与数量、数量关系、空间几何、运算结果估计等方面的感悟，提升用数学思想方法分析、解决实际问题的基本能力，增强应用意识及创新意识，促进学生理解数学文化价值，体会数学的严谨性和精确性，进而能够喜欢数学、热爱数学，欣赏数学之美。”

责任编辑韦英哲