数学归纳法之我见

战逸耕

【摘 要】数学归纳法在中学数学中具有重要地位，它对中学数学学习有很大帮助，本文就在学习数学归纳法的过程中出现的困难及怎样学好数学归纳法，进行了深入的剖析和讲解，以帮助同学们更加科学的认识和应用数学归纳法。

【关键词】数学归纳法；命题；递推

数学归纳法在中学数学中具有重要地位，在一些数学命题的证明中是一种重要方法，对于很多呈现规律性的命题，一般都可以采用数学归纳法进行证明。在运用数学归纳法的过程中，很多同学经常对数学归纳法存在一些疑惑：一方面是它的方法本质不容易掌握，另一方面是归纳证明的步骤有时很难切入。一般用数学归纳法证明一个命题时，必须包括两个基本程序：

第一：证明当取第一个值时命题成立；

第二：假设当取第个值时命题成立，证明当取第个值时命题也成立。

这两个步骤证明完毕，即可判定定此命题对成立。这里的第一步是论证命题的基础；第二步是证明过程的核心，称为归纳步骤，第二步是证明命题的正确性是否能否从特殊情况推广到一般情况的依据。这两个证明步骤相辅相成，密切相关。缺少哪一步都会使得证明不完整。如果只有基础步骤而没有归纳步骤，那就失去了一般性，从而使得论断的普遍性是不可靠的相反，假如只有归纳的步骤而没有基础步骤，则使得归纳中的假设步骤就会失去了依据，也会使归纳步骤的证明失去意义，即使归纳步骤得到证明，证明的结果也失去了可靠的依据，所以还是不能证明原命题的正确正确性。刚接触数学归纳法的同学对于证明的过程和步骤往往会缺少深刻的理解，只是照搬书中和老师所教的方法，在用数学归纳法证明问题时，总感觉不知为何如此，只知其然不知其所以然，以为这种方法只是流于形式，证和不证好像没什么不同，这种思想是进一步学好其他数学知识的的绊脚石，同学们只有认清原理，理解方法的本质，才能学好用好数学归纳法，才能有信心学好其他数学知识。

下面我们深入分析同学们在学习中所产生的疑惑。一种疑惑是：对基础步骤中只须证明时命题成立感到不可理解，认为应多证明几个自然数，才会呈现规律性。这种想法反映了对基础步骤的证明目的没有本质的理解。实际上，证明时命题成立，就说明命题有了递推的基础，待归纳步骤得证后，就可判定命题对一切自然数都成立另一种疑惑是：对归纳步骤中的归纳假设感到迷惑，认为时命题的成立既然是假设的，那么即使证出时命题成立，似乎也没有什么实际意义，产生这一疑惑大致有两个原因：一是没有把基础步骤和归纳步骤结合起来考察；二是对归纳步骤的证明目的认识模糊。我们先来分析一下，究竟是否允许假设当时命题成立？解答这个问题的关键是明确的含义这里的是任意的，所有能够使命题成立的自然数都可以作为而且，这样的是存在的。由基础步骤可知，当时命题成立，所以至少自然数就是一个例子。由此可见，归纳假设初始的实际根据，在基础步骤中是已经证明了的。证明归纳步骤的目的，则在于确立递推的根据，使命题得以按基础步骤所提供的初始根据，逐个进行递推，从而得出命题对一切自然数都成立的结论。第三种疑惑是：既然归纳假设中的是任意的，那么将代以，马上便可推得为任意自然数时命题成立了，为什么还要花那么多时间去证明归纳步骤呢？这种想法是由于对的任意性理解不正确而造成的。的任意性，只在作归纳假设时可以任意，既假设以后，在推导时命题成立的时候它便只能固定而不能在任意取值。事实上，和永远是两个不同的自然数，是那些使命题成立的自然数集合（记作）中的任一个，而是的后继数，所以从证到是必不可少的。

通过以上讨论，我们可以进一步体会到，用数学归纳法解题时，两个步骤是缺一不可的。用数学归纳法证明问题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。在我们所学习的内容中，采用数学归纳法证明的命题一般有两种形式：一种是能直接运用数学归纳法的，证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的，不能直接应用归纳假设来证明的这类命题解题时，一般可以考虑利用其它數学知识，建立某命题与所证明命题的联系，间接得以证明。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

上面我们对数学归纳法进行了剖析，同学们可以结合实例，认真体会数学归纳法的解题思路。数学归纳法在数学学习中是一种非常重要的方法，尤其在中学数学中的地位和作用是运用很广的，同时它也是近年来中学数学高考中的一个比较热的考点，因此，进一步的学好数学归纳法，深刻理解其中的含义从而更加灵活运用数学归纳法可以对中学数学的学习有很大的帮助，也可为我们提高成绩打下坚实的基础。

参考文献：

[1]刘绍学.数学[M].人民教育出版社，2007：92-97.