尺规作图问题新探

王邵惠子 王青建

【摘要】本文概述尺规作图的历史和基本作图方法，从代数学角度揭示尺规作图的本质是“做出一个实数”，基于此阐述几何作图三大难题的不可作性，并指出研究尺规作图的意义.

【关键词】尺规作图；作图本质；几何作图三大难题

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图.其中的直尺必须没有任何刻度，可以任意延长，且只能用它画直线；圆规可以开合任意宽度，但上面仍不能有刻度.由于尺规的限制，人们研究作图的过程中产生了著名的“几何作图三大难题”，经过两千多年的研究才得以解决，成为数学史上闪耀的篇章.

一、尺规作图的历史

中国古代的作图工具主要是规和矩.规，即能画圆的圆规，矩，为两条相连成直角的长短不一的尺构成，可以画直线和直角.“规矩”两字在甲骨文中都存在，可见其出现较早，甚至可追溯到大禹治水以前.最迟在春秋战国时代，规矩已被广泛使用[1].

古希腊人恩诺皮德斯（Oenopides）是目前已知最早明確提出几何作图只能使用尺规的人.约公元前300年欧几里得（Euclid）将其总结在他的名著《几何原本》中，成为希腊几何学的基石.希腊人强调尺规作图的原因也是想从尽可能简单的条件得出尽可能多的结果.另外，希腊人认为圆是最完美的平面图形，直线是最简单的几何图形，它们是平面几何最基本的研究对象，通过尺规可以作出，因此，要求作图只能够用这两个工具[2].

二、尺规作图的本质

在初中几何教学中，我们知道关于尺规作图有以下基本作图结果：① 作一线段等于已知线段；② 作一角等于已知角；③ 平分已知角；④ 作线段的垂直平分线（作线段中点）；⑤ 经过一点作已知直线的垂线.有限次重复利用基本作图和这些基本结果可以实现大部分平面几何的作图问题.

尺规作图实际上可归结为代数问题.基本作图结果①“作一条已知长度的线段”实意是“做出一个实数”的长度，因此，可以用尺规人作出任意两实数的和与差.

（四）尺规作图的发展

人们在利用尺规去完成几何作图三大难题屡屡失败的时候，一方面，怀疑它们作图的可能性并加以证明，另一方面，考虑用什么办法能够做出这三个图形，由此一些新的方法产生了.

古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）借助圆锥曲线、狄克莱斯（Diocles）借助蔓叶线解决了倍立方体问题；阿基米德（Archimedes）利用有一点标记的直尺和圆规[1]、希庇亚斯（Hippias）借助割圆曲线、尼科梅德斯（Nicomedes）借助蚌线、法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal）借助蚶线解决了三等分角问题[3]；古希腊安提丰（Antiphon）用圆内接正多边形逼近圆面积的方法、迪诺斯克拉图（Dinostratus）利用割圆曲线、阿基米德利用螺线法、阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）借助圆柱螺线解决了化圆为方问题.

在研究过程中，人们进行了探索与思考：若作图不用尺可以做什么？这被称为单规作图.显然，只用一只圆规不能作出直线，但是作出一条直线上的两个不同点，就“相当于”做出这条直线.1673年丹麦人摩尔（George Mohr）指出：只用一只圆规，就能完成尺规的工作.1797年意大利数学家马斯凯罗尼（L.Mascheroni）发表《圆规几何学》，证明了此结论，史称“马斯凯罗尼圆规问题”.

1759年德国数学家兰伯特（Johann Heinrich Lambert）提出只用直尺的作图问题（确定一个圆的圆心和半径就“相当于”作出这个圆），1822年庞斯列（Poncelet）进行完善，但需要在平面内给出一个定圆和圆心才能够用直尺解决所有尺规能作的图形.1833年瑞士数学家施泰纳（Steiner）给出了证明[2]，史称“施泰纳直尺问题”.

在解决完以上问题之后，人们不禁再次发问：若圆规不能调整两条腿间的距离是否可以作图？这被称为锈规问题.1979年英国数学教授丹·佩多（Daniel Pedoe）提出了锈规作图问题：如果A，B是任意给定的两个点，满足要求的点C仍然能够只用锈规作出吗？我国数学家张景中院士与其搭档杨路很快就找到两种解法.1982年，佩多在此基础上发表文章同时提出：已知两点A，B，能否只用一个生锈的圆规做出线段AB的中点？1987年，侯晓荣推广了张景中院士等人的想法，使这个问题得以解决[4].

（四）尺规作图的意义

在尺规作图两千多年的历史研究过程中产生了很多“副产品”，例如，开创了圆锥曲线的研究；产生了“穷竭法”的思想，成为微积分的前身；通过研究了三次方程的解法、正n边形的做法，与近代方程论、群论联系紧密.这些发现在一定意义上推进了世界数学的发展.

人们最初研究尺规作图问题的部分原因是生产生活的需要，后来，探求其中数学原理成为人们研究主要动因.在数学史上，很多的分支和学科的发展也与人们对它的兴趣密切相关，费马大定理、哥德巴赫猜想、四色定理都是如此.尺规作图的很多问题似乎在现实生活中并没有什么应用，但是众多数学爱好者还是孜孜不倦地探索其中的魅力.数学大师陈省身曾说“数学好玩”，所以数学的不断发展与它“好玩”密不可分.也因如此，三大作图问题才有如此多的证法与扩展，成为数学史上闪耀的篇章！

【参考文献】

[1]梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史[M].沈阳：辽宁教育出版社，2001.

[2]王青建.数学史简编[M].北京：科学出版社，2004.

[3]彭林.几何三大作图问题史话[J].中学数学杂志，2004（5）：51-53.

[4]顾森.思考的乐趣：Matrix67数学笔记[M].北京：人民邮电出版社，2012.