耦合含时滞的相互依存网络的局部自适应异质同步∗

王宇娟 涂俐兰 宋帅 李宽洋

(武汉科技大学理学院,武汉 430065)

(2017年8月30日收到;2017年11月4日收到修改稿)

1 引 言

自20世纪末起,复杂网络一直是科学界的热点研究领域,取得了一系列研究成果,但是,很多成果仅仅适用于被视为孤立系统的单个网络[1].随着科技和社会的发展,不同系统或网络之间的相互联系越来越紧密,即网络间的耦合越来越强[2].这使得某个网络中节点的故障可能引起其他网络中节点的崩溃,反之亦然[3].譬如:交通系统中航空与铁路运输网络的复合;计算机网络中物联网与无线传感器系统的相互支撑;电力基础设施中变电供电系统与计算机网络的安全牵制;现实生活中社会关系网和流行病传播网之间的互相影响;投资与实业的合作演化等[4−8].近年来,国内外学者提出的相互依存网络能更好地刻画这种存在相互影响、相互依赖耦合作用的“网络的网络”,已经成为当今复杂网络领域最前沿的重要研究方向之一[9,10].

同步问题是复杂动力网络研究中一个有趣且有意义的问题.最主要的原因是网络同步在各个科技领域都有许多应用,譬如网络通信中的信息交换一致,数值信号、模拟信号的同步转换等[11−14].过去的20年里,复杂网络的各种同步问题已经进行了深入探讨[15−21],并提出了各种同步方法,如聚类同步、相位同步、投影同步、广义同步、滞后同步等[22−26].在复杂动力网络的行为分析中,时滞扮演着非常重要的角色,对时滞的研究不可避免.研究表明,时滞对复杂动力网络的行为有显著影响[17−19,27,28].文献[17—19]分别探讨了时滞对复杂网络同步的影响,并提出了使网络达到同步的刻画指标;对于时滞递归神经网络,文献[27]分析了一种新的基于加权时滞的稳定性判据;文献[28]通过引入新的时间变量使得网络的时滞变小,从而提高网络的同步能力.

迄今为止,科学界对复杂网络同步的研究主要限于单个复杂网络,对“网络的网络”的研究还处于初级阶段,特别是相互依存网络[29−33].文献[29]提出了一种基于脉冲相互作用的具有时滞的多重递归神经网络全局同步的新结果,其中的脉冲相互作用是指一定的神经网络只在脉冲时刻相互通信,而在剩余时间独立;文献[30]探讨了多层网络中多智能体系统的同步,提出了加性耦合和马尔可夫开关耦合俘获两种数学模型的分层链接;文献[31]研究了自适应多层网络中的同步问题;文献[32]发现连接方式对两层网络的同步能力具有很大的影响,为了获得良好的同步能力,最有效的方法是连接度大的节点;文献[33]研究了相互依存网络的广义互同步.

单个网络上的动力学研究存在一定局限性,为了更好地反映实际网络的演化行为机理,将这些动力学行为放在相互依存网络中进行研究就显得尤为重要.基于此,本文深入地研究耦合含时滞的相互依存网络的局部自适应异质同步问题,并提出了新的局部自适应异质同步控制器和充分条件,创新点如下:1)考虑的网络不仅含有非线性、光滑的耦合函数,而且时滞同时出现在子网内和子网间的耦合项中,因此研究的相互依存网络较其他文献更具一般性;2)利用自适应控制和线性矩阵不等式(LMI)方法,从理论上提出了耦合时滞相互依存网络的局部自适应异质同步充分条件,这些条件简单易行.

2 预备知识

考虑由两个子网络构成的具有时滞的相互依存动力网络,节点数为N1=N2=N,网络中每个节点都是一个n维系统,且子网络间是一对一相互依赖的关系,网络的状态方程可表示为

则Lk=−dkAk是一个拉普拉斯矩阵.ckl是子网络k对子网络l的耦合强度,代表了两个子网络对应节点间的相互依存关系.

假设1在本文中,总假设c12=c21=c.

假设2设是函数在s1(t)处的雅可比矩阵;设其中是的最大值.再设是函数在s2(t)处的雅可比矩阵;设其中是的最大值.

假设3设是函数处的雅可比矩阵;设是函数在处的雅可比矩阵;再设B=(bij)n×n,D=(dij)n×n,且bij和dij分别是bij(t− τ)和dij(t− τ)(t∈R)的最大值.

注1在本文中,E代表适当维数的单位矩阵.

注2本文主要讨论(1)式网络在控制器的作用下达到局部自适应渐近异质同步问题,所以,若对(1)式网络施加控制器,可得其状态方程如下.

当k=1时,子网1可表示为

当k=2时,子网2可表示为

定义1(渐近异质同步) 一般地,对于相互依存网络((1)式),若

则称(1)式网络达到渐近异质同步,其中s1(t)∈Rn和s2(t)∈Rn分别为

和

这两个孤立节点系统的解.

同时,(6)式和(7)式系统分别可表示为

引理1(Schur complement[34]) 假设Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)都是x的矩阵函数,则线性矩阵不等式

等价于下列条件中的任何一个:

引理2[35]对于任意矩阵X,Y∈Rn×m,矩阵不等式XTY+YTX≤XTAX+YTA−1Y成立,其中AT=A＞0,A∈Rn×n.

3 主要结果

根据上述假设,提出相互依存网络((1)式)的局部自适应渐近异质同步的充分条件.

定理1当假设2和假设3成立时,若存在两个对称正定矩阵P＞0和Q＞0,两个正实数矩阵使得

成立,则(1)式网络在控制器

和自适应律

证明构造一个李雅普诺夫函数为

由引理2,有

而且

所以,

由假设2和假设3,有

假设

其中

且设

则

(21)式表明在各种假设下,时滞耦合的相互依存网络((1)式)达到了局部自适应渐近异质同步.因为不等式(20)式不是标准的LMI形式,利用引理1,可以将其改写为不等式(11)式.至此,定理1得证.

4 数值模拟

为了验证上述理论分析的主要结果,对NW小世界子网络和BA无标度子网络构成的相互依存网络进行数值模拟,其中子网络间是一对一的相互依赖关系.考虑具有100个节点的NW小世界子网络((3)式),其平均路径长度为1.616,聚类系数为0.37934,节点平均度为38.02.网络的每个节点动力系统都是Lorenz系统,

式中a1,b1,c1是实数.当a1=10,b1=28,c1=8/3时,系统是混沌的.

另外一个子网络为含100个节点的BA无标度子网络((4)式),其平均路径长度为2.1376,聚类系数为0.21285,节点平均度为10.74.网络的节点动力系统是Rössler系统,

式中a2,b2,c2是实数.当a2=b2=0.2,c2=5.7时,系统是混沌的.

同时,设网络((3)式和(4)式)的内部耦合函数为

在所有的数值模拟中,为了简单起见,设网络中的参数分别为τ=1,c=0.03,d1=0.02,d2=0.02.并设孤立节点系统的初始值分别为s1=(3,−10,8),s2=(2,8,−10);子网络(3)式和(4)式的初始值分别为自适应律的初始值和反馈增益分别为和

图1 子网络((3)式)的运动轨迹图Fig.1.Trajectory of the sub-network(Eq.(3)).

图2 子网络((4)式)的运动轨迹图Fig.2.Trajectory of the sub-network(Eq.(4)).

在上述条件下,相互依存网络的子网络((3)式和(4)式)的各个节点的动力轨迹图分别如图1和图2所示.图1和图2说明随着时间的改变,网络中的每个节点的运行轨迹处于杂乱的状态.

根据定理1,利用MATLAB的LMI工具箱,可求得存在正定矩阵P和Q,

使得满足定理1的条件((11)式).对网络((3)式和(4)式)施加控制器((12)式),在自适应律((13)式)的作用下,获得误差系统的轨迹图,如图3和图4所示.图3和图4表明,在自适应控制器的作用下,在1 s之内第二个、第三个子图的误差分量很快都趋于零,而第一个子图的轨迹则在零的附近有非常微小的摆动,这说明在控制器的作用下此时的误差运动轨迹是有界的,也是渐近稳定的.图5和图6则说明随着时间的增加(如增大到5 s),最终完全趋于零.此时,两个子网络各自完全自适应同步到各自孤立系统的运动轨迹.

图3 子网络((3)式)节点误差系统的轨迹图Fig.3. Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(3)).

图4 子网络((4)式)节点误差系统的轨迹图Fig.4.Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(4)).

图5 误差分量的轨迹图Fig.5.Trajectory of.

图6 误差分量的轨迹图Fig.6.Trajectory of.

在相互依存网络的两个子网络((3)式和(4)式)达到自适应渐近异质同步的同时,图7和图8说明自适应律((13)式)的轨迹也很快趋于稳定值,从而验证了本文提出理论的正确性和有效性.

图7 子网络((3)式)自适应律轨迹图Fig.7.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(3)).

5 结 论

在复杂网络间相互作用关系日益增强的今天,需要将研究目光由单个网络转向更一般的由多个子网络所组成的相互依存网络,进而对实际系统或网络的运作有更深入、全面的了解.研究了由两个子网络构成的相互依存网络的局部自适应异质同步问题,其中两个子网内和子网间耦合都具有时滞,网络中耦合关系是满足光滑性的非线性函数.首先对网络进行局部线性化,再利用李雅普诺夫稳定性理论,结合自适应控制技术和线性矩阵不等式方法,对网络施加合适的控制器,提出了时滞相互依存网络达到自适应渐近异质同步的充分条件.值得注意的是,本文所提出的控制器简单且易操作.最后,利用NW小世界子网络和BA无标度子网络构成的相互依存网络进行了数值模拟,结果表明提出理论的正确性和有效性.该研究为揭示网络行为规律提供了新的思路,也为实际网络建设(如基础设施系统)[3−8]提供了理论基础.由于提出的理论结果与时滞无关,因此下一步工作是探讨相互依存网络时滞相关的同步问题.

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图8 子网络((4)式)自适应律轨迹图Fig.8.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(4)).

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