关于“一元微积分”教学内容的改革实践与思考

翟全礼

摘 要：施行《普通高中数学课程标准（实验）》后，高中数学引入了微积分内容，这不论对中学数学教育还是对高等数学教育都产生了很大影响。本文主要讨论了这项措施对高等数学课程相关内容的影响与应采取的改革举措，并在教学实践中取得了一定成效。主要比较了中学数学与高等数学的一些知识点，原则大致是：中学讲过的，高等数学可略讲、不讲；中学略提及的，高等数学要讲（或扩展，或提高认识角度，或提高要求）等。

关键词：高中课程标准 微积分 教学改革

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）09（c）-0163-03

1 问题

目前高中数学在内容上比较施行新课标前有增有减，增加了一些原是高等数学课程内容，又减少了一些原本在中学阶段应讲而现在不讲的内容。这种情况下如何厘清、处理这之间的关系，既能帮助学生巩固和扩展初等数学（学习高等数学所需）知识，又能改善高等数学课程的内容处理，进而提高课程的教学质量就成为一个亟待解决的问题。

某些学校的教师采用预修课程的形式解决这一问题，并出版了教材。在补足学习高等数学的基础后，可保障高等数学课程的正常学习。这意味着要增加高等数学课程的学时或另外增设预修课程学时，这对于许多普通院校是不太容易办到的。

这类院校如果坚持高等数学课程原有内容和方式，无视中学数学改革给大学数学造成的影响，那必然会影响课程的教育质量与效果。因学时所限，采取在课内补课的方式基本不可行。对这类院校要解决问题，首先要在认识上正面评价15年来中学施行新课标改革取得的成就（当然也有一些不足），中学数学改革的方向是正确的。经长期调研2017年底教育部对2003年施行的《高中课程数学标准（实验）》做了修订，颁布了正式《普通高中数学课程标准（2017年版）》。在这种现实下，高等数学课程应当增加一个新的角度思考即中学数学（即实际从入学新生）的角度考虑课程的内容设计。高等数学课程不但要从满足大学专业学习发展的角度考虑问题，还必须从中学数学的角度考虑问题。我们在教学实践中针对此类问题进行了一些探索和思考，提出一些具体的教学建议和方法，在此提出与各位同仁交流，也供年轻教师参考。主要比较了中学数学与高等数学的一些知识点，原则大致是：中学讲过的，高等数学可略讲、不讲，中学略提及的，高等数学要讲（或扩展，或提高认识角度，或提高要求）等。下面从几个方面讨论二者之间相关内容的关系，及在高等数学课程中应采取的对策。

2 映射与函数

集合、映射与函数等知识点高中与大学一致。在高等数学课程中，不必重复高中已用大量时间学习与练习的内容。但函数是高等数学课程研究的主要对象，在讲完高数课程绪论后，对这部分还需要有重点地安排一些内容，进行一些说明。具体方法如下。

（1）回顾初中课程里函数的“变量说”与高中课程里函数的“对应说”定义，指出在将常量视为变量的特例后，两种提法实质相同。前者直观，后者严谨。

注：将常量视为变量，在高等数学中常见，是为分类等研究需要而采用的常用方式，如在几何中有时将直线看作曲线的特例，将平面看作曲面的特例等，但有学生可能不习惯，所以这里提及，以使得学生逐渐习惯高等数学的思维方法。

（2）指明函数与映射的关系，即函数是特殊的一种映射，映射是诸如函数、平面图形面积、立体体积、曲线弧长、事件域上概率、向量集到向量集的变换等的抽象和一般化。

注：平时常说的“函数思想”实际指的是，在非常广泛问题中存在的映射或可使用的映射方法。

（3）在回顧函数概念时，可扩展的内容有余切、正割、余割，这3个可以作为正切、余弦、正弦的倒数得到。关于这些函数的图形、性质等可以借助数学软件如Mathematica在课外由学生绘制、探索。更进一步地，所有基本初等函数的图形都可用软件绘制。还可根据情况介绍双曲函数的知识（选学内容）。

（4）通常提到函数的表示法有3种（解析法、列表法、图像法）。在高等数学课程中，还有一种也常用，就是描述法，如高斯取整函数、某数集的特征函数等就是用描述法定义的。

注：这也是将高中内容扩展。让学生将过去与现在联系起来，不断扩展知识。

（5）将单调性函数扩展为非增（非减）函数。由于中学非常熟悉用导数符号判断函数的增减性，自然可以引出非增（非减）函数的判别定理，后面可对这些严格证明。这里的讨论是为后面课程内容做铺垫。另外还应指出（尽管非常简单）线性函数的增减性与斜率的关系。

注：线性函数的斜率（变化率）即导数为正，函数增；斜率为负，函数减。这样一般函数用导数判别单调性的结论也就容易联想记忆。利用导数信息认识基本初等函数，则其增减性显得一目了然，这样可帮助学生学习与记忆。

（6）关于反函数，中学要求偏弱，仅介绍了概念及少数例子。在高等数学课程中连续函数运算部分，可用单调连续函数存在反函数且连续这结论，以例子形式，学习4个反三角函数及其连续性，并用软件绘其图形。如在 上单调增加、连续，故其存在反函数，记作，其他3个如反余弦、反正切、反余切类似引入。

注：在介绍反函数存在及连续性定理过程中，比较自然地补充了反三角函数内容（中学未讲，但学高数课程必备）。

（7）在中学数学（必修1）关于“函数的应用”一章里有关方程根与函数的零点，涉及的例子，与高等数学相关内容（闭区间上连续函数的性质）比，都比较简单（低次多项式）而且以几何方式给出。这可以使在高等数学课程里省去引入问题的时间，讨论时可直接以分析方式讨论一般函数零点或方程根的情况。另外还可介绍用软件如Mathematica求方程根的方法。

注：把高中所讲内容当作基础和铺垫，可节省高数课程学时。类似地，遇到高中讨论过的内容如微积分、向量代数、空间几何等内容都可如此处理。

3 一元微分学

3.1 导数定义

引入概念实际背景，导数定义及其几何意义、物理意义，高中数学（选修2-2）比较高数课程差别不大，而且引例与导数实例相比高等数学课程中的更新颖、贴近生活。因此在高数课程中，引入导数概念时，可直接承继高中部分，简要回顾后就可以导数定义为起点进行教学讨论。下面从概念理论、计算两方面来分析高中与高数课程所讲微分学的关系与高数课程采取的处理方式。

（1）从导数定义，引出左、右导数概念，给出函数可导的充要条件。讨论函数可导与连续的关系。这里对有关结论要求推导证明，在这过程中深化对导数概念的理解和认识，体会极限的作用。

（2）在高中没强调导数的各种记号，多使用朗格朗日记号，在高数课程中为了后续内容（微分、高阶导数等）需要与便利，要介绍几种记法，并在高阶导数讲解时加以强调。

（3）导数基本公式，高中（选修2-2）只介绍8个（同济版教材[1]是16个，比高中内容多了等三角函数及4个反三角函数的导数公式），导数计算也限于相对简单的函数。由于高中数学课标（实验）中没有要求极限的具体内容，因此基本导数公式推导，及利用导数定义求极限，在高数课程里都要明确要求。重点利用导数定义推导正弦、余弦、指数函数、对数函数等导数基本公式（到这里学生会明白了“重要极限”的作用）。在讨论导数运算法则时推演其它基本导数公式。注意在推导正弦与余弦导数公式之前先推导正弦或余弦的“差化积”公式（高中未要求，但利用正弦或余弦的“加法公式”不难推出）。

3.2 导数基本公式与运算法则

高中介绍了导数四则运算法则和复合函数求导法则，但未证明。高数课程则要利用极限工具证明这些法则，并利用商的求导法则来推导其余三角函数（包括中學未讲过的正切、余切、正割、余割函数）的导数公式，利用反函数求导法则推导反三角函数导数公式等。高等数学课程与高中所讲内容相比：一是内容扩展了，二是要求提高了（不但要求会用公式、法则，还要能推导）。对于导数计算，高中仅要求几种简单函数的导数，而高数课程则要求能计算一般初等函数（包括隐函数）的导数及高阶导数。

3.3 微分

中学并未讨论微分，但导数与微分关系密切，有关导数计算及运算法则都对应相应的微分法则。过去由于课时限制，高数课程上过多地讨论导数，对微分关注相对较少。现在由于中学已介绍了较多导数内容，所以高数课程中就有时间多对微分这部分进行讨论。对于将来学习来讲，微分的概念与运算更为重要。比如微分易于推广到多维空间理论，而在计算复合函数、隐函数（包括由数个方程确定的隐函数）的导数时，微分运算也具有一定的优势。

3.4 导数的应用

如判别函数单调性，求函数极值，求闭区间上函数的最大值与最小值，及求解最值的应用题。是中学数学里的重点，也是高数课程的基本要求。在高数课程中，除了关注计算外，还要求对相关定理证明，如（利用微分中值定理）证明单调性判别定理，并加以拓展：关于非减（或非增）函数的判别定理（及其证明），比较这两个定理的区别与联系。

关于极值判别，中学讲过的一阶导数条件在高数课程可略讲，而侧重利用二阶导数条件判别极值，选择的例子可以是三角函数一类。关于最值问题，闭区间上连续函数最值求法可略但要有要求，重点放在非闭（开、半开、无穷）区间上的函数最值求法。

3.5 函数

（图形）的凹凸性判别及拐点的求法，在内容结构设计上类似函数单调性判别及求极值，这点要给学生提示。一段时间来，由于学时少，因而在高数课程中会有这样的现象：更侧重单调性和极值部分，而关于凹凸性问题相对着墨较少。而在中学已对单调性和极值内容关注较多的情况下，高数课程可以在凹凸性问题上侧重些。在考虑单调性时，可能会从最简单的一次函数提起，斜率，则函数递增；斜率，则函数递减。进而自然地引出一般函数单调性的判别（定理）问题。在考虑凹凸性时，可先让学生回顾在中学关于二次函数的讨论（其二次曲线的对称轴、顶点、零点等），若用微分法考虑则大大简化问题。设二次函数为，使点即驻点； 时，曲线开口向上（即曲线为凹弧），时，曲线开口向下（即曲线为凸弧）。对于更复杂的函数曲线就需要凹凸性的概念（而不仅是开口向上或下这样的语言了）来刻画，用二阶导数来研究一般函数（图形）的凹凸性，就是高数课程中有关凹凸性的判别定理。用这种方式引入凹凸性概念会比较自然，易于为初学者接受。

关于函数（图形）凹凸性，还可以和函数的单调性相联系。比如函数单调递增，而递增可以更细分为：函数递增但增长率递减（）（慢增）；函数递增且增长率递增（）（快增）。对于单调递减也可类似细分。这样深化了对函数（图形）凹凸性的理解。

3.6 绘制函数图形

这是高等数学课程的要求，也是用微分法综合研究函数各方面性质的体现。对于这部分，非常适合采用数学软件。其他像方程求根、各种类型函数的（高阶）导数计算等，都可以而且应该结合数学软件。方式是由学生在课外操作，教师课上适当指导即可。

在高等数学课程的学习过程中，比较高中会更强调概念、理论及问题的理解，而上面我们的一些做法和考虑在一定程度上正是满足了这样的课程要求。

4 一元积分学

4.1 定积分概念

高中数学介绍定积分概念的来源背景，给出了定积分定义，不过定义比高数课程的定义要特殊一些。高数课程中的定积分定义更一般、严谨。高数课程就可以在分析这样的区别中给出定积分的定义。并且指出对连续函数来说，高中定义与高数课程的定义实际相同。在高数课程中，由于高中在关于定积分概念引入等做了很多工作，高数课程就可以更注重定积分性质、利用变限定积分法表示新型函数等内容。这样可以突出定积分的重点与价值。

4.2 定积分计算

高中数学介绍了用微积分定理（牛顿-莱布尼兹公式）计算定积分方法。高数课程内容的重点在于理解和证明微积分基本定理（分为两个部分：一是变上限函数求导定理；二是牛顿-莱布尼兹公式），并且也要求学生会做。除了普通计算，高数课程还要求利用数学软件（如Mathematica）计算原函数、定积分。

4.3 定积分应用

现在由于学时缘故，高数课程定积分应用大多考虑几何应用。而目前高中课程中，也介绍了物理应用，在高数课程中就更应根据专业适当选择一些物理、工程、经济中的定积分问题加以介绍，以更全面地理解定积分思想和方法。

5 结语

不断跟踪中学数学教育的变化发展，在高等数学课程中做出相应的改变，并且在课程中与中学内容有机结合，可促使学生勤思考、提高学生学习兴趣与主动性，从而保证高等数学课程的教育质量。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系编.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 苏德矿 ，余继光.高等数学基础——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介[M].北京：高等教育出版社，2015：9.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.