例谈习题教学艺术

□文/重庆市实验中学 马林刚

在中学数学课堂教学中，难免会遇到学生的反馈由于应付、思考不够深入或者思考有较大偏差的时候，怎样进行有效的易于接受的引导，使课堂教学效果达到最优化？笔者拟从下面几个课例来谈谈习题教学的艺术，借此抛砖引玉。

课例1：在讲解求函数的最大值时，很多学生谈到本题的解法就是分子分母同时除以，分母使用均值不等式得到y最小值，于是得到的最大值。

分析：乍一看，解法很流畅，但是问题在于没有考虑到函数的定义域中包含0这个元素，而且x=0时是不能分子分母同时除的。笔者很想批评这位自认为解法无懈可击的学生，但是又怕打击他的自尊心。

我对他的解法没有批评，而是把原题函数不变，求解的问题改为求值域。让所有同学再研究。如按照这位同学的操作步骤，有：。问：y＜0可以吗？其实，可以得到。追问：y=0可以吗？为什么？其实，x=0时y=0。此时再讲本题的正确步骤，学生更加易于接受。

小结：面对学生的不准确解法，没有拿出批评利器，而是和学生一起分析，设问将问题引向深入，不仅解决了问题，而且让课堂更加灵动。

课例2：若不等式x2+1≥kx在[1,2]上恒成立，则实数k的取值范围是什么？有学生决定考察函数y=x2-kx+1在区间[1,2]上的取值，这固然是一种方法。但有更好的办法，一是代数的角度，“孤立”k，得到，再考察在区间[1,2]上的最小值；二是几何的角度，作出函数的图像，保证在区间[1,2]上，函数y=x2+1的图像始终y=kx在的上方。

小结：有学生认为这是多此一举，作为教师此时不宜强调哪种好，哪种不好，也不能妄加批评。而是要引导大家观察哪种方法更简洁，更具有推广价值。同时给出一个练习：x2+x+1≤k对x∈[1,2]恒成立，求的取值范围。同样用上述的方法解答，集体论证解决方案。认为多此一举的学生看到了解题方法的推广价值，一定会印象深刻。

分析：如果学生能在学习中已经积累起P从椭圆右顶点开始向上沿着椭圆运动，∠F1PF2逐渐增大，当P运动到短轴端点时∠F1PF2取到最大。此题既然说∠F1PF2为钝角，那一定就是由F1、F2为直径的端点的圆与椭圆的交点确定范围。

有学生马上表示对这个内容不明白，想从定义出发。教师认为这是件好事，∠F1PF2为钝角，意味着，或者使用余弦定理说明∠F1PF2＜0即可。但是比较起来都不如上面的方法简单。批评不能解决问题，此处暴露了学生对这部分知识的薄弱，于是顺便证明焦点三角形的面积公式，甚至可以证明双曲线中，焦点三角形的面积公式。

小结：例题教学不只是为了解决问题，同时也可以暴露出学生的弱点，批评只能使学生隐藏自己的弱点，这样教学的效果也打了折扣。

课 例4： 在 △ABC中， 内 角A、B、C的对 边 长 分 别 为 a、b、c， 已 知 a2-c2=2b， 且sinAcosC=3cosA，则b的值为__________。

分析：学生在回答怎样求解时直接说没有思路。其实本题主要是要明确目标，求b。而已知条件中sinAcosC=3cosC却是关于角的等式，变形势在必行。sinAcosC=3cosC变形为，则，联立a2-c2=2b，消去a2-c2，得到关于b的方程，解出b即可。

小结：没有思路是假，思路混乱是真。一会想变a2-c2=2b为角的关系，一会想变sinAcosC=3cosAsinC为边的关系。没有执着一个目标，同时注意到余弦定理中存在边的平方关系就能顺利完成目标。

补充练习：△ABC中，面积s=a2-(b-c)2则cosA等于__________。

课例 5：有限数列 A：a1，a2,……,an，Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1，a2,……,a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1，a2,……,a99的“凯森和”为_________。

分析：面对所谓信息题，学生比较怵，因为急于在短时间解决问题，却又不能准确读清题目意思。面对这种现状，笔者认为，为师的应该指点方法，而不是简单的一句：本题把题目读懂即可解决。哪知道学生的难点就在于读懂题目。怎样读懂？边读边写出代数式，把文字语言变成数学式子后便于求解，把目标也表示成代数式子，只有这样才能很快的读懂题意，下笔解答。

补充练习：对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和sn=________。

总而言之，习题教学中，教师首先要因势利导，注重通法通解，让学生自己逐渐形成解题思路；其次，对于学生暴露出的问题要究根溯源，找出学生思路的断链处。数学中很多小技巧或者是中间结论都会影响到解题的结果，同时对于良好数学思维习惯的形成也是逐渐矫正、逐渐适应的结果；最后，通过教师示范，学生讨论，形成良好的思维习惯，数学的魅力在于数学化本身，怎样通过读题、审题，把不熟悉的化归为熟悉的，把常用的方法用以解决新出现的问题本身就是思维的过程。鼓励学生积极动手，大胆尝试，在基本功扎实的前提下总结解题思路，建构自己的数学空间。习题的教学始终是数学教学的核心。只要在教学中不断总结规律，用心探索，吸收学生和同行的良好营养，再加上自己的不断揣摩，一定能把数学问题教学功能发挥到极致。◇