一题多解之我见

摘 要：

一题多解就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道习题的解答。“一题多解”有利于调动学生的学习积极性，可以激发学生去发现创造的欲望，加深学生对所学知识的理解，训练学生对数学方法和思想的运用，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。总之，“一题多解”有利于学生思维能力的提高。

关键词：一题多解；思维提高；解答

例题1：已知数列{an}满足an=nn+2，n∈N，试比较an与an+1的大小。

方法一：作差

an+1-an=n+1n+3-nn+2=2（n+2）（n+3）>0，∴an+1>an

方法二：作商

∵an>0

∴anan+1=nn+2n+1n+3=n（n+3）（n+2）（n+1）=n2+3nn2+3n+2<1

∴an

方法三：单调性

an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an关于n单调递增∴an

方法四：浓度法

把an=nn+2看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于向溶液中加糖），浓度当然增大，易得an

例题2：若直线y=x+k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求k的取值范围。

解法一：曲线方程可化为x2+y2=1（x≥0），把y=x+k代入x2+y2=1（x≥0）

可得：2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根

①当方程有等根时，即Δ=（2k）2-8（k2-1）=0，可得k=±2，当k=2时，方程可化为2x2+22x+1=0，得x=-22不合题意；当k=-22时，方程为2x2-22x+1=0

得x=22符合题意，可知k=-2；

②当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1不合题意应舍去；当k=1时，方程为

2x2+2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=-1符合题意，可知k=1；

③当方程根为一正一负时，只需x1x2=k2-12<0，可得-1

综上所述：所求k的取值范围为k=-2或-1

解法二：曲线x=1-y2是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），

k是直线y=x+k在y轴上的截距。在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，k=-2，由图形：可得

k=-2或-1

例题3：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解法一：由x+y=1得y=1-x，则

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12

由于x∈[0，1]，当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

解法二：因为x+y=1，x、y≥0，则可

设x=cos2θ，y=sin2θ

其中θ∈0，π2则x2+y2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2cos2θsin2θ=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ=1-12×1-cos4θ2=34+14cos4θ

当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值12；当cos4θ=1时，x2+y2取最大值1。

解法三：由于x+y=1，x、y≥0，则可

设x=12+t，y=12-t，其中t∈-12，12，于是，x2+y2=12+t2+12-t2=12+2t2 t2∈0，14

所以，当t2=0时，x2+y2取最小值12；当t2=14时，x2+y2取最大值1。

解法四：由于x、y≥0且x+y=1

则xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14，于是x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，所以当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。

解法五：设z=x2+y2。

∵x+y=1，∴z=x2+y2-x-y+1=x-122+y-122+12≥12。

当x=y=12时，即x2+y2的最小值为12。

一题多解可以使學生多角度、多方位地去思考解题，使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，激发学生的求知欲。一题多解的训练使学生思维模式解放了，解题方法多种多样，这样才能使得枯燥的数学解题变得更加具有吸引性，提高学生发现问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]高中数理化，2014（6）.

作者简介：禹凤英，甘肃省兰州市，兰州民族中学。