基于LMI的不确定大系统的BIBO镇定

李 萍

(西南民族大学计算机科学与技术学院，四川 成都 610041)

1 引言

近十多年来，大系统(Large-Scale Systems)在电力、城市交通、社会经济系统、数字通讯等领域的广泛应用，形成了世界性的热潮.一般地，把模型规模庞大复杂、有多个互联的子系统和多个状态变量的系统称为大系统.稳定性是控制理论研究的基本问题[1-4].因此大系统的稳定性也一直受到众多学者的广泛关注[9-11].同时，不确定大系统的鲁棒镇定性也因为模型和测量误差地存在、非线性系统的线性化近似逐渐成为该领域的一个焦点[5-8].

通常，人们关注的稳定性为Lyapunov意义下的稳定性.为了追踪参考输入信号，有界输入有界输出(BIBO)稳定性也成为控制领域研究的核心问题之一.如果系统每个有界的输入都导致输出有界，那么系统就称为是有界输入有界输出稳定的.但是到现在为止，有关大系统的BIBO稳定性和鲁棒BIBO稳定性的结果还较少[12-15].文献[12-13]讨论了如下的时滞大系统:

反馈控制律分别为u(t)＝其中Fi为反馈增益矩阵.文献[12-13]建立了闭环系统与时滞无关的渐近稳定和BIBO稳定的充分条件.文献[14-15]对于每一个子系统，应用了稳定的局部状态反馈，通过构造Lyapunov函数，利用Bihari型不等式，基于Riccati方程的正定解和矩阵范数不等式推导出了多变量反馈控制大系统BIBO稳定的充分条件.

本文将采用多Lyapunov函数方法及常数变易法，讨论了闭环大系统BIBO稳定的性质与鲁棒BIBO稳定的性质.系统的扰动向量相比文献[14-16]更具一般性，并且BIBO稳定性判据和状态反馈矩阵可以用MATLAB工具箱进行可行性求解，从不同于文献[12-16]的角度建立了闭环大系统的BIBO稳定的条件.

2 问题的陈述

考虑如下的有N个子系统的不确定连续大系统:

其中，v(t)为任意可积函数，那么不等式

成立.

引理2.3[18]E，H，F(t)是具有适当维数的矩阵，不确定时变矩阵F(t)满足FT(t)F(t)≤I，则对任意的常数ε>0，不等式

成立.

3 闭环大系统的分散BIBO稳定分析

首先，讨论大系统(1)无扰动参数的情况，即

将(3)式代入(4)式得到

当i，j＝1，2时，闭环大系统(5)的结构如图1所示.

图1 i，j＝ 1，2 时，大系统(5)的反馈控制图Fig.1 The feedback control of(5)when i，j＝ 1，2

定理3.1如果存在常数α>0，β>0，ε>0，存在矩阵Xi>0，矩阵具有适当的维数(i＝1，2，…，N)，使得LMI

成立，其中

4 闭环大系统的鲁棒分散BIBO稳定分析

将(2)、(3)式带入(1)式得到的闭环大系统如下:参考定理3.1的证明可知，(9)式满足时，定理4.1成立.

注4.1 当参考输入信号恒为零，定理3.1和定理4.1下，大系统分别是渐近稳定和鲁棒渐近稳定的.第五部分的仿真图形可以看到当ri(t)＝0时，系统状态收敛于零.

注4.2 文献[14-16]的反馈增益矩阵是某个Riccati方程的正定解.而本文是通过常数变易法和矩阵分析技巧，得到基于LMI的状态反馈控制器的设计方法.LMI判据通过引入自由矩阵可以降低条件的保守性，因此具有一定的优越性.

注4.3 参考文献[19]给出了系统参数α>0，β>0的最小化问题，可以表示为:

设计过程及求解参考文献[19]定理1.

5 算例仿真

而θ1＝0.6179，θ2＝1.1291｜｜x(0)｜｜.图2(a)、3(a)、4(a)分别表示参考输入信号r(t)＝0时的系统状态、控制输入和控制输出；图2(b)、3(b)、4(b)分别表示参考输入信号r(t)＝1时的系统状态、控制输入和控制输出.

图2 (a) r(t)＝0时的系统状态Fig.2(a) The state of e.g.5.1 when r(t)＝0

图2 (b) r(t)＝1时的系统状态Fig.2 (b) The state of e.g.5.1 when r(t)＝1

图3 (a) r(t)＝0时的控制输入Fig.3 (a) The input of e.g.5.1 when r(t)＝0

图3 (b) r(t)＝1时的控制输入Fig.3 (b) The input of e.g.5.1 when r(t)＝1

图4 (a) r(t)＝0时的控制输出Fig.4 (a) The output of e.g.5.1 when r(t)＝0

图4 (b) r(t)＝1时的控制输出Fig.4 (b) The output of e.g.5.1 when r(t)＝1

那么相应的增益矩阵为

而θ1＝1.5970，θ2＝16.6694｜｜x(0)｜｜.图5(a)、6(a)、7(a)分别表示参考输入信号r(t)＝0时的系统状态、控制输入和控制输出；图5(b)、6(b)、7(b)分别表示参考输入信号r(t)＝sint时的系统状态、控制输入、控制输出.

图5 (a) r(t)＝0时的系统状态Fig.5 (a) The state of e.g.5.2 when r(t)＝0

图5 (b) r(t)＝sint时的系统状态Fig.5 (b) The state of e.g.5.2 when r(t)＝sint

图6 (a) r(t)＝0时的控制输入Fig.6 (a) The input of e.g.5.2 when r(t)

图6 (b) r(t)＝sint时的控制输入Fig.6 (b) The input of e.g.5.2 when r(t)＝sint

图7 (a) r(t)＝0时的控制输出Fig.7 (a) The output of e.g.5.2 when r(t)＝0

图7 (b) r(t)＝sint时的控制输出Fig.7 (b) The output of e.g.5.2 when r(t)＝sint

6 结束语

本文讨论了一类连续时间闭环大系统BIBO稳定性和鲁棒BIBO稳定性问题，并给出了反馈控制器的设计方法.将本文的技巧与算法推广到时滞大系统的BIBO稳定性理论是作者下一步的工作.

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