具有广义Marshall-Olkin分布部件并联系统随机比较性质

，

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

定义1 设(X1,X2)的联合生存函数为

(1)

其中常数λ1，λ2，λ12>0,称(X1,X2)服从参数为λ1，λ2，λ12的二维Marshall-Olkin指数分布，记为(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)。

二维Marshall-Olkin指数分布由Marshall-Olkin[1]首次提出，该分布的概率解释可参见文献[2]。容易得出，二维Marshall-Olkin指数分布是不相互独立。

下面给出广义二维Marshall-Olkin分布的定义。

定义2 设非负随机变量Si的分布函数为Gi,i=1,2,3。如果(X1,X2)的联合生存函数为

(2)

称(X1,X2)为广义二维Marshall-Olkin分布，记为(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)。

广义二维Marshall-Olkin分布见文献[3]。

设(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)，则边际生存函数分别为：

随机序的定义可参见文献[4-6]，它们在可靠性理论、保险精算领域应用广泛。

显然上面随机序有如下关系:X≤lrY⟹X≤hrY⟹X≤stY,X≤stY⟹X≤icvY(见文献[5])。

从定义3可以得出随机序概念的意义。设X,Y分别表示两个元件的寿命，X≤stY表示元件X的可靠度小于元件Y的可靠度；X≤hrY表示元件X的故障率大于元件Y的故障率。

次序统计量的研究是学界的研究热点，已引起国内外学者的广泛关注，最大次序统计量对应着并联系统寿命。近年来，很多学者在独立假设下研究次序统计量，如：文献[7]探讨了相互独立不同分布的样本次序统计量在故障率序下的随机比较性质，并得到了两个独立具有指数分布的部件并联系统的故障率的上界； 文献[8]研究了多个相互独立具有不同指数分布的部件并联系统故障率的性质，并得到了多个不同的指数分布部件并联系统故障率的上界，该上界优于文献[7]得到的。更多的结果，可参见文献[9]。

文献[10]在相依假设下研究了两个部件的并联、串联系统的随机比较性质。在两部件服从Marshall-Olkin指数分布条件下，研究了两个部件的并联、串联系统在故障率序意义下的随机比较性质。

设(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12),λ1，λ2，λ12>0。由元件X1,X2组成并联系统寿命X(2)=max(X1,X2)，则X(2)的生存函数

(3)

X(2)密度函数

f(2)(t)=(λ1+λ12)e-(λ1+λ12)t+(λ2+λ12)e-(λ2+λ12)t-λe-λt，t>0，

(4)

其中λ=λ1+λ2+λ12。

引理1[10]设(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，λ1≤γ1≤γ2≤λ2，λ1+λ2≤γ1+γ2，λ12≤γ12。X(2)=max(X1,X2),Y(2)=max(Y1,Y2)， 则Y(2)≤hrX(2)。

本文对引理1做了部分推广，证明了在一定条件下,引理1在似然比序意义下仍然成立。并考虑了部件服从广义二维Marshall-Olkin分布时,并联系统的随机序、增凹序的随机比较性质。

文中，均假设随机变量非负，分布函数是绝对连续的，具有概率密度函数， 文中提到“单调增加”均指“单调不降”， “单调下降”均指“单调不增”。

1 二维Marshall-Olkin指数分布并联系统似然比序性质

本节将研究具有二维Marshall-Olkin指数分布的相依部件组成的并联系统的似然比序性质,有下面的定理1。

定理1 设(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)。设λ1=γ1=λ2=γ2，λ12<γ12，λ1，λ2，λ12,γ1,γ2,γ12>0，则Y(2)≤lrX(2)。

由定义3,只要证明

H(t)=[2(a+λ)e-(a+λ)t-(2a+λ)e-(2a+λ)t]/[2(a+μ)e-(a+μ)t-(2a+μ)e-(2a+μ)t]

(5)

关于t单调增即可。

计算得：t>0，[g(2)(t;a,μ)]2H′(t)=(μ-λ)e-(μ-λ)t[(2a+2λ)(2a+2μ)-(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)e-at+(2a+λ)(2a+μ)e-2at] 。

令y=e-at，A=(2a+λ)(2a+μ)，B=-(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)，C=(2a+2λ)(2a+2μ)。由于λ<μ，只需证：

∀y∈(0,1],J(y)=Ay2+By+C≥0

(6)

即可。

令y0=-(B/2A)=[3a2+3aλ+3aμ+2λμ]/[(2a+λ)(2a+μ)]。

ⅰ)当y0≥1，因为J(0)=C>0，计算得J(1)=A+B+C=λμ>0，所以，∀y∈(0,1]，J(y)≥0。

ⅱ)当0

J(y0)=C-[B2/(4A)]=4(a+λ)(a+μ)-[(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)2]/[4(2a+λ)(2a+μ)]≥4(a+λ)(a+μ)-(2a+λ)(2a+μ)=2aλ+2aμ+3λμ>0,所以，∀y∈(0,1]，均有J(y)>0。故式(6)成立,从而式(5)关于t单调增,定理1得证。

注1 定理1中,λ1,λ2,γ1,γ2,λ12,γ12满足的条件是引理1条件的加强特殊情形,这时定理1的结论比引理1强。

命题1 设(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)。有：1) 当λ1<γ1=γ2=λ2，λ12=γ12，不能得出Y(2)≤lrX(2)；2)当λ1<γ1，λ1+λ2=γ1+γ2，λ12=γ12，不能得出Y(2)≤lrX(2)。

证明由式(4)，Y(2)≤lrX(2)⟺[(λ1+λ12)e-(λ1+λ12)t+(λ2+λ12)e-(λ2+λ12)t-(λ1+λ2+λ12)e-(λ1+λ2+λ12)t]/[(γ1+γ12)e-(γ1+γ12)t+(γ2+γ12)e-(γ2+γ12)t-(γ1+γ2+γ12)e-(γ1+γ2+γ12)t]关于t>0单调不降。

⟺I(y)=[(λ1+λ12)yλ1+λ12+(λ2+λ12)yλ2+λ12-(λ1+λ2+λ12)yλ1+λ2+λ12]/[(γ1+γ12)yγ1+γ12+

(γ2+γ12)yγ2+γ12-(γ1+γ2+γ12)yγ1+γ2+γ12]

(7)

关于y∈(0,1]单调不增，其中y=e-t。

1)当λ1=0.4,γ1=γ2=λ2=0.7，λ12=γ12=0.6，从图1可以看出，I(y)关于y∈(0,1]先单调降后单调增，利用式(7)，不成立Y(2)≤lrX(2)。

2)当λ1=0.4,γ1=0.5,λ2=0.6,γ2=0.5，λ12=γ12=0.7，从图2可以看出，I(y)关于y∈(0,1]先单调降后单调增，利用式(7)，不成立Y(2)≤lrX(2)。

注2 命题1中，λ1,λ2,γ1,γ2,λ12,γ12均满足引理1的条件，但是引理1的结论不能加强为Y(2)≤lrX(2)。

2 广义的二维Marshall-Olkin分布并联系统随机比较

在随机序、增凹序意义下,本节讨论了具有广义二维Marshall-Olkin分布的并联系统的随机比较性质。

下面介绍引理2、引理3，可参见文献[6]。

引理2 设X1,…,Xn和Y1,…,Yn分别是相互独立的随机变量,且Xi≤stYi,i=1,…,n，则对任意n元单调不减函数(即对每一变元都是单调不减的)ψ，有ψ(X1,…,Xn)≤stψ(Y1,…,Yn)。

引理3 设X1,…,Xn和Y1,…,Yn分别是相互独立的随机变量,且Xi≤cvYi,i=1,…,n，则对任意n元单调不减凹函数f(即对每一变元都是单调不减和凹的),有f(X1,…,Xn)≤cvf(Y1,…,Yn)。

为了研究并联系统的随机序性质，先证明引理4。

2)X(2)=min{max(S1,S2),S3}。

2)证明略。

引理5 1) 设f(x1,x2)=max(x1,x2)，则f(x1,x2)是关于每个变量xi(i=1,2)单调不降凸函数；2)设g(x1,x2)=min{x1,x2}，则g(x1,x2)关于是每个变量xi(i=1,2)单调不降凹函数。

2)固定

是关于x1单调不降凹函数，同理可证，固定x1,g(x1,x2)关于x2单调不降凹函数。

关于部件具有广义Marshall-Olkin分布的并联系统，有如下的随机序性质，即定理2。

定理2 设S1,S2,S3相互独立,T1,T2,T3相互独立。(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3),(Y1,Y2)～GMO(T1,T2,T3)，Si≤stTi，i=1,2,3。令X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)，则X(2)≤stY(2)。

证明令f(x1,x2)=max(x1,x2)，因为Si≤stTi，i=1,2。由引理2得：

max(S1,S2)=f(S1,S2)≤stf(T1,T2)=max(T1,T2)。

(8)

因S3≤stT3，且max(S1,S2)与S3相互独立，max(T1,T2)与T3相互独立。令g(x1,x2)=min{x1,x2}，由引理3、引理4及式(8)得：X(2)=min(max(S1,S2),S3)=g(max(S1,S2),S3)≤stg(max(T1,T2),T3)=min(max(T1,T2),T3)=Y(2)。定理2得证。

定理3 设S1,S2,S3相互独立，T1,T2,T3相互独立。(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)，(Y1,Y2)～GMO(T1,T2,T3)，Si≤stTi，i=1,2，S3≤icvT3。令X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)，则X(2)≤icvY(2)。

证明令f(x1,x2)=max(x1,x2)，因为Si≤stTi，i=1,2。由引理2得： max(S1,S2)=f(S1,S2)≤

stf(T1,T2)=max(T1,T2)。从而有 max(S1,S2)≤icvmax(T1,T2)。

又因为S3≤icvT3，且max(S1,S2)与S3相互独立，max(T1,T2)与T3相互独立，因为g(x1,x2)=min{x1,x2}是关于每个变量xi(i=1,2)单调不降凹函数。由引理4的2)得：X(2)=min(max(S1,S2),S3)≤icvmin(max(T1,T2),T3)=Y(2)，定理3得证。

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