小论二、八、十、十六四种进制之间的转换

李智远

摘要：进制之间转换，是大中专院校学生必须掌握的基本知识。在实际工作教学中，发现很多学生不能够很好的运用进制之间的转换口诀或算法，从而造成解题混乱甚至错误。下面我们通过对二、八、十、十六四种进制之间的一般转换方法和特殊转换算法进行详细的探讨。相信阅读此篇文章后可以帮助大家快速、轻松的进行各种进制之间的相互转换。

关键词：进制；口诀；421；8421

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）04-0109-02

以下四段为预备知识，务请事先熟练掌握：

D：Decimal，十进制，十进制的基本数符有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；加法口诀：逢十进一；减法口诀：借一当十。

B：Binary，二进制，二进制的基本数符有2个：0、1；加法口诀：逢二进一；减法口诀：借一当二。

O：Octal，八进制，八进制的基本数符有8个：0、1、2、3、4、5、6、7；加法口诀：逢八进一；减法口诀：借一当八。[注：字母“O”和数字“0”容易混淆，故书写时一般使用字母Q表示八进制]

H：Hexadecimal，十六进制，十六进制的基本数符有16个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；加法口诀：逢十六进一；减法口诀：借一当十六。

1 所有进制数向十进制数的转换（即R→D）[R：表示任意某种进制数]

其转换口诀是：位权相加法（即：拿各个数位上的数符乘上各个数位上对应的权，然后累加求和即可）。 比如：二进制实数101011.101B向十进制实数转换：

101011.101B=1×25+1×23+1×21+1×20+1×2-1+1×2-3=32+8+2+1+0.5+0.125=43.625D[提示：①二进制小数点右侧数位上的权从左往右依次是：2-1，2-2，2-3，…；②二进制小数点左侧数位上的权从右往左依次是：20，21，22，…。]

再比如：八进制实数173.2Q向十进制实数转换：

173.2Q=1×82+7×81+3×80+2×8-1=64+56+3+0.25=123.25D。

再比如：十六进制实数2BC.8H向十进制实数转换：

2BC.8H=2×162+11×161+12×160+8×16-1=512+176+12+0.5=700.5D。

请读者自行思考以下三个问题：①（11111111）2=（？）10②（32）12=（？）10③（FFFF）16=（？）10[提示：①③项可采用“先加1再减1的方法”比较简单]

2 十进制数向其他所有进制数的转换（即D→R）

遇到这类问题，首先考虑的是：这个需要转换的十进制数是纯整数？还是纯小数？还是带有小数点的实数？因为十进制整数向R进制整数转换的口诀是“除R取余、直到商为0、逆序输出法（即由下到上输出）”；而十进制纯小数向R进制纯小数转换的口诀是“乘R取整、直到积为0或达到精确度要求、正序输出法（即由上到下输出）”。比如：如何将十进制实数43.625转换成二进制数、八进制数、十六进制数？

经过分析，43.625是个实数，需要分两步骤做，先转换整数部分，再转换小数部分，最后合并即可得到最终结果。43.625向二进制转换的过程如下列表格所示：

自此，读者可自行计算出43.625D的等值八进制数是：53.5Q；等值的十进制数是：2B.AH。

此处，我们介绍一种可以快速“将十进制整数向二进制整数”转换的方法：例如：200D=？B，我们可以将200拆成：128+64+8；然后直接写出200的等值二进制数：11001000B。[提示：拆分时，一定要拆成2的整数次幂的累加和，先观察比200小的、一个2的整数次幂，很显然是27，即128；然后再加上128的一半64，看看128+64有没有大于200；若大于200，再让128加上64的一半32，再试一试，以此类推！]在书写等值二进制数结果的时候：先写出一个1（代表拆分出来的128），然后观察128的一半64有没有，若有就在1的右侧写一个1，若没有出现64，就在第一个1的右侧写一个0，依次类推！请读者参考以上方法，直接写出300D、400D、500D的等值二进制数。

读者也会经常遇到比较大的十进制整数向其他进制转换，此时需要灵活运用所学知识；如怎样将十进制整数229转换为十六进制数呢？最简捷的解题方法如下：229=21×228=2×（24）7=2×167=2000 0000H。当然读者也可以采用“除十六取余，直到商为0，逆序输出”法，只是建议在计算时，最好能将“229÷16”写作“229÷24”，这样计算起来就比较简单！

3 二进制数和八进制数之间的转换（即B←→Q）

首先讨论二进制数向八进制数转换的方法：小数点两侧，三位分组，不够三位的、补0凑成三位；然后再其下方写上“421”，把二进制数中的1对应的“421”中的数字进行累加，即可轻松写出答案。比如：二进制数101011.1011B向八进制数的转换过程如下方表格所示：

八进制数向二进制数转换的过程正好是上方表格的逆过程，但是务必记住：“每一个八进制数位必须使用3个二进制数位表示”。如：703.4Q=111 000 011.100 B=111000011.1B

4 二进制数和十六进制数之间的转换（即B←→H）

然后讨论二进制数向十六进制数转换的方法：小数点两侧，四位分组，不够四位的、补0凑成四位；然后再其下方写上“8421”，把二进制数中的1对应的“8421”中的数字进行累加，即可轻松写出其十六进制数结果。比如：二进制数101011.101B向十六进制数的转换过程如下方表格所示：

5 小结

综上所述，我们可以发现以下几点规律：①二进制数和八进制数之间是绝对可以精确转换的；②二进制数和十六进制数之间也是绝对可以精确转换的；③二进制向十進制转换的时候，也是可以精确转换的；④十进制整数向其他任何进制整数转换的时候，也都是可以精确转换的；⑤十进制小数向其他进制小数转换的时候，有可能出现无限循环或无限不循环、从而无法精确转换（如0.6D=0.100110011001…B）。

各种进制在日常生活中被广泛的使用，如每周7天使用的是七进制，一年四个季度使用的是四进制，一年12个月使用的是十二进制。熟练掌握以上进制转换方法后，所有进制之间的转换我们都可以轻松自如的完成转换；并且熟练掌握进制之间的转换，是学习信息技术相关领域知识的最基本要求，对于以后更深层次的专业课学习也是至关重要的。

参考文献：

[1] 百度，www.baidu.com.

[2] 爱奇艺，www.iqiyi.com.

[3] 张福炎.大学计算机信息技术教程[M].第6版，南京大学出版社.

[4] 龚沛曾.大学计算机基础[M].第6版，高等教育出版社.