椭圆公式及定理推导窍门

赵馨妍（重庆市育才中学校高2019级，重庆）

一、椭圆标准方程推导

在目前的高中数学教学中，椭圆标准方程的运用非常广泛，同时也是高考考查的热点和难点。椭圆方程的运用经常与其他内容综合考查，要求学生要深入理解椭圆方程的意义和推导过程。只有掌握了为什么，才知道怎么做。对椭圆标准方程的推导有很多方法，例如可以运用坐标法求动点轨迹方程的方法，借助等差数列的方法，三角换元的方法等来求。下面我们具体的对坐标系法推导椭圆轨迹方程的办法进行了阐述，希望能帮助大家理解，更好的在实践中运用。

如图，建立直角坐标系，使x轴经过点F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。

设 M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2C（C＞0），那么焦点 F1，F2的坐标分别为（-C，0）（C，0）.

又设点M与F1，F2的距离的和等于常数

由定义可知椭圆就是集合

将这个方程移项后两边平方，得

上式两边再平方得=a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得（a2-c2）x2+a2y2=a（2a2-c2）

由椭圆的定义知 2a＞2c，a2-c2＞0

令a2-c2，代入上式得b2x2+a2y2=a2b2

这个方程就是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点在x轴上。

二、椭圆面积公式推导

椭圆面积公式在高中数学中也是椭圆部分运用公式之一，其定理：如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。椭圆面积公式的推导可以采用三角代换法、参数方程法、极坐标法、分部积分法等方法。椭圆面积公式的推导方法很多，下面我们选取了比较简单的一种方法来具体阐述。

推导：分析可知，在一个圆柱上作一斜截面可得一椭圆面

设圆柱oo1的底面直径AB′=2b，斜截面椭圆的长轴长AB=2a，椭圆面M′与圆柱底面M所成角为，将椭圆圆周n+1等分，设其分点分别为 P′1、P′2、…、P′i、P′1+i、…、P′n、P′1+n，在底面圆周上的射影分别为 P1、P2、…、Pi、P1+i、…、Pn、P1+n，分别连结点 A、P′1、P′2；A、P′2、P′3；、…；A、P′i、P′1+i；…；A、P′n、P′1+n及点 A、P1、P2；A、P2、P3；…；A、Pi、P1+i；…；A、Pn、P1+n。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为S′、S，因为圆柱底面面积 S′=πb2.

且b=acosa，则仿定理2（若一平面图形M′是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M′所成角为a，则射影平面图形M′的面积与凸平面图形M的面积比为cosa.）可证

因此椭圆的面积公式为S=πab.（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

三、椭圆焦点弦长公式推导

焦点弦长公式指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。直线与圆锥曲线公共点的个数问题、弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）、对称问题、最值问题、轨迹问题等都是高考考查的热点，掌握焦点弦长公式的推导过程有助于帮助大家加深理解和认识，在各种考察点中灵活运用，提高解题的效率，为高考奠定基础。下面我们以一个例题开始对椭圆焦点弦长公式进行推导。

直线直线L过右焦点，则可以假设直线为：x=my+c（m不等于0）

代入上式得：（b2m2+a2）+2mcb2y+b2c2-a2b2=0

整理得（b2m2+a2）y2+2mcb2y-b4=0

（2）若=90°，则 m=0，

当且仅当m=0时，过焦点弦长最短

椭圆部分有很多的定理和公式，其中有的更是高考考查的热点和难点问题。通过对椭圆公式的推导，希望能帮助大家更好地掌握椭圆性质和定理，在解题中能够更加灵活的运用。