平面向量数量积教学的三重境界

江苏省南通市天星湖中学 吴淑群

数量积是中学数学向量章节中的最后一个知识点，也是最重要的一个知识点。从向量教学来看，让学生最为困扰的是：如何理解向量数量积以及向量数量积的多层次运用。笔者以为可以设计三重层次来进行教学，加深学生对于数量积的认识。

境界一：概念的理解和基本量运算

众所周知，数量积属于向量中比较难以理解的概念之一，一般教学都是以学生已有的知识——物理中的“功”作为引入，让学生体会。这一概念的教学若不是从学生已有的知识体系入手，是有些困难的，因此，在这里的教学向学生渗透两个理解：第一是的类比推导，大大加快了数量积的概念理解；第二是注重数量积本质的思考，即从向量维度回到了数量维度，这是数量积最大的本质特性。有了概念的思考，自然就是理解概念中这些基本量的运算。给出问题设计：

分析：数量积可以用来进行几何垂直的证明，这是其重要特性之一，结合前面平面向量基本定理的知识，熟练使用数量积垂直特性解决问题。

分析：向量数量积的运算可以从自由向量角度进行，也可以从坐标向量的角度进行，对于向量而言，坐标化更体现了向量的代数化特征，因此受到学生的喜欢，在这里的运算中，理解为什么这么算是关键。

境界二：性质的理解和思考

掌握了向量的数量积基本运算，我们进一步思考更为关键的向量数量积几何性质。应该认为，数量积所具备的性质与以往的代数运算是大不相同的，这里是学习的难点。什么原因呢？通俗一点说，就是因为以往的代数乘法是一维的，而向量是二维的，在更高维度中的运算如何结合方向？必定不同于一维的代数乘法运算，所以很多性质的理解需要重新思考。

分析：因为概念的学习，产生了在这一概念要求下的性质，比如上述性质是初学者易错的。性质（3），学生惯有的思维告诉他正确，但是数量积并非是一维的代数乘法运算，因此这种方式显然是不正确的，何为 ？思考概念的本质，指的是向量 和 各自在向量 方向上的投影相同，因此，这种概念本质的拓展加深了学生对数量积性质的理解。再比如（5），乘法交换律显然适用于一维代数乘法运算，但是在向量数量积中却行不通，为什么呢？因为数量积是数量， 和 其实就是 和 （这里x和y是实数），在并不清楚向量 和 的前提下，怎么可能相等？这种理解对于学生而言是提升其不同运算法则的重要认知。

解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

境界三：极化恒等式的掌握和运用

分析：本题可以从向量中线性质入手，较为容易，但是利用极化恒等式，学生可以直接思考问题的本质，揭示了数量积与和差之间的关系，其解决问题的过程自然更加简便。

数量积教学是向量教学的难点，笔者建议对学生需要逐步进行、螺旋上升，在基本量熟练运用的基础上，进一步理解其几何性质、投影等相关认知，进而思考极化恒等式，这对于学生理解向量、运用向量有更好的作用。

[1]方厚石．向量教学诠释思维品质[J]．数学通讯，2014（1）．

[2]鲍建生等．向量教学研究[J]．数学教学，2015（1）．

[3]柴贤亭．数学教学中的问题设计[J]．教学与管理，2013（10）．