研题：数学教师成长的阶梯

冯寅

摘 要：研题是数学教师进步的阶梯.研题包括做题、讲题和串题.教师在研题中体会问题的价值和意义，提高教学水平.

关键词：研题；做题；讲题；串题

数学教师的成长离不开题目，数学的课堂教学需要题目，在题目的不斷变化中可以寻找到问题的真谛.在课堂上，教师对题目的讲解行云流水，水到渠成.其实，在课外凝聚着教师做题、串题的心血，教师可以在做题、讲题、串题的过程中，体会问题的价值和意义，对题目的研究将成为教师进步的阶梯.

一、做题——态度决定一切

数学教师离不开做题，但做什么题，做多少题，怎么做题是有很大区别的.其实，教师首先应该做透课本上的题目和高考的真题，课本上的题目现在教师很少研究，这些题目应该是编写者精心挑选的，是学生进一步学习的基础，许多将是以后解决问题的工具.高考真题是命题者精心设计的问题，是对考试大纲的具体诠释，能使我们很好地把握教学、复习的方向，所以，这些题目将是我们教师必须做好做透的好题目.做题应该倡导不急着看答案，要在无答案的状态下思考分析，真正感受题目的本质，真正体会题目的难度，这样的做题将使我们最贴近学生的实际，能真正体会到学生做题的感受，对我们的教学有很大的帮助.但这样做题费时费力，需要我们老师有耐心和毅力，所以真正地做好题做够题由我们的态度决定.

例1 已知平面向量[a，b]，[a=1]，[b=2]，[a·b=1]. 若[e]为平面单位向量，则[a·e+b·e]的最大值是 .

分析：这是浙江省2016年文科数学高考试题的第15题，在当年的考试中体现出一定的难度.问题的核心就是如何理解[a·e+b·e]，不同的理解可以有不同的方法.

解法1：对[a·e+b·e]整体思考，利用绝对值的特点分析.

[a·e+b·e=a·e+b·e=a+b?e≤a+ba·e-b·e=a-b?e≤a-b]，下面只要比较[a+b， a-b]的大小.因为，[a+b2=a2+2ab+b2=7]；[a-b2=a2-2ab+b2=3].所以，[a·e+b·e]的最大值为[7].

解法2：从向量的数量积的几何意义来思考[a·e+b·e].

[a·e]表示向量[a]在向量[e]方向上的投影的长度[A1C1]；

[b·e]表示向量[b]在向量[e]方向上的投影的长度[C1B1]（如图1）.

那么，问题转化为：求向量[a，b]在向量[e]方向上的投影的长度之和[A1B1]的最大值.

而向量[a，b]在向量[e]方向上的投影的长度之和[A1B1]的最大值为[AB]，那么，[AB2=a2+b2-2a?b?cos1202=7，AB=][7]，即[a·e+b·e]的最大值是[7].

解法3：利用数量积的计算也可以解决问题.

由[a=1]，[b=2]，[a·b=1]得：[a，b=60]°，设[a，e=θ， 则a·e+b·e=cosθ+][2cosθ-60°]

[=cosθ+cosθ+3sinθ]，考虑绝对值的符号（如图2）.

①[a·e+b·e=2cosθ+3sinθ][=][7sinθ+φ≤7]，

②[a·e+b·e=3sinθ≤3].

即[a·e+b·e]的最大值是[7].

解法4：给定了平面上两个不共线向量[a，b]，我们可以考虑利用平面向量基本定理.

平面内的任意向量[e]都可以表示成[e=xa+yb]，由[e=1]得：[x2+2xy+4y2=1]；

由题意，[a·e=xa2+ya·b，b·e=xa·b+yb2，]即[a·e=xa2+ya·b，b·e=xa·b+yb2，]那么，[a·e=x+y，b·e=x+4y.]

记[m=a·e+b·e=x+y+x+4y]，考虑[x+y]和[x+4y]的符号：

①若[x+y]和[x+4y]同号：则[m=2x+5y]，

代入[x2+2xy+4y2=1]得：[21y2-6my+m2][-4=0]，由[Δ=0]得：[m2=7]

②若[x+y]和[x+4y]同号：则[m=3y，]

代入[x2+2xy+4y2=1]得：[9x2+6mx+4m2][-9=0]，由[Δ=0]得：[m2=3]

即，[a·e+b·e]的最大值是[7].

上述的这些解法基本涵盖了这个问题所能解决的所有基本方法，从上述的不同解法中，我们也能感受到题目的价值和意义，对两个向量的数量积的问题有了全面和系统的理解，解决这样的问题能起到举一反三的作用.

二、讲题——方法决定过程

会做题是数学教师的第一要素，但仅仅会做还不够，更重要的是要把我们会做的如何教给学生，让学生理解、会做.优秀的教师就是能把复杂的问题讲得浅显易懂，所以讲题需要方法，不同的方法会产生不同的效果.课堂上面对学生的讲题究竟要讲什么？应该讲学生疑惑的问题，学生不易想到的问题，讲如何化未知为已知.

例2 设函数[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]，其中[a>0]，[b]为任意常数.

证明：当[0≤x≤1]时，有[f（x）≤][maxf（0）， f（1）].

分析：这样分类讨论的问题教师经常讲，但效果总是不尽如人意，在考试中遇到要分类讨论的问题，学生心里还是七零八落，不能全面正确地解决好.究其原因还是教师对题目的讲解没有讲到学生的“心里”，没有讲在学生的“痛处”，没有内化为他们自己的思维，下面从这个题目出发分五步来谈谈如何讲题.

第一步：两点理解！

理解条件：

（1）[maxf（0），f（1）]的含义是什么？它表示一个确定的数！

（2）[maxf（0），f（1）=M（a，b）].

（3）[f（x）≤maxf（0），f（1）]的含义是什么？即[f（x）≤M（a，b）].

（4）认识函数[y=f（x）]和[y=f（x）].

（5）[f（x）max=maxf（0），f（1），fx0]，[f（x）min=min f（0），f（1），fx0 .] [（x0是函数y=f（x）顶点的横坐标）]

[f（x）max=maxf（0），f（1），fx0]；[f（x）min=minf（0），f（1），fx0].

理解问题：

这是一个研究函数值的问题！

第二步：两点担忧！

（1）问题中含参数多，计算困难！（2）问题中含有绝对值，要分类讨论！

第三步：两点思考！

思考一：考虑带绝对值研究，问题转化为研究[y=f（x）]的最大值！当[x∈0，1]时，[f（x）≤maxf（0）， f（1）]成立，表示[f（x）max≤maxf（0），f（1）].

思考二：考虑去绝对值研究，从而研究[y=f（x）]的不等关系！

当[x∈0，1]时，[f（x）≤maxf（0），f（1）]成立，表示[maxf（0），f（1）≤f（x）≤maxf（0），f（1）].

第四步：两种策略！

策略1：研究[y=f（x）]的最大值！对自变量讨论！

分析：设[x0]是函数[y=f（x）]顶点的横坐标.

那么，[max|f（x）| 0≤x≤1=max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}]，

要有，[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}≤][maxf（0），f（1）].

疑问：应该有[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}≥][maxf（0），f（1）]？

理想：[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}=][maxf（0），f（1）]！

思考：（1）[fx0]没有意义！即[x0?0，1]；（2）或[|f（x0）|≤f（1）].

解法：令[x0=a+b3a].[f（0）+f（1）=a>0]，

（1）當[x0=a+b3a≤0]，即[b<-a<0]时，函数[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]在区间[[0，1]]上单调递增，由[f（0）=-b

（2） 当[x0=a+b3a≥1]，即[b>2a]时，函数[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]在区间[[0，1]]上单调递减，由[f（0）=b>f（1）=b-a]，则有[f（x）≤maxf（0），f（1）]；

（3） 当[x0=a+b3a∈（0，1）]，即[-a

由[f（a+b3a）=ab-a2-b23a=a2+b2-ab3a].

①当[bf（0）]，

由[f（1）-a2+b2-ab3a=2a2-2ab-b23a]，又[0][3a2-9a243a][=]

[a4>0].

故[f（1）>f（a+b3a）]，从而有[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

②当[b>a-b]，即[a2f（1）]，由[f（0）-a2+b2-ab3a=4ab-a2-b23a]，又[0<2a-b<3a2，]则[4ab-a2-b23a=][3a2-（2a-b）23a>3a2-9a243a=a4>0]，

故[f（0）>f（a+b3a）]，从而有[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

综合上述：当[x∈[0，1]]时，[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

策略2： 去绝对值，研究[y=f（x）]的不等关系！

[f（x）≤maxf（0），f（1）]等价于[-max{f（0），f（1）}≤f（x）≤max{f（0），f（1）}].

又因为[f（x）max=max{f（0），f（1）}]，故只需要证明[f（x）min≥-max{f（0），f（1）}]

（1）若[f（0）≥f（1）]，即[b≥a-b]，即[2b≥a>0]，而[maxf（0），f（1）=f（0）=b]

[则 f（x）+b=3ax2-2ax+2b1-x≥3ax2][-][2ax+a1-x][=a3x2-3x+1>0]

（2）若[f（1）≥f（0）]，即[a-b>b]，即[2b≤a]，[maxf（0），f（1）=f（1）=a-b]

则[f（x）+a-b=][3ax2-2a+bx+a][=a3x2-2x+1-2bx][≥a3x2-2x+1-ax=a3x2-3x+1][>0]

第五步：两点改进！

改进1：减少变量！

[fx=a3x2-21+bax+ba]，[t=ba]令，得[gx=3x2-21+tx+t]，

问题转化为：[g（x）≤maxg（0）， g（1）]；我们只要对[t]分类：[t≥12]和[t<12]两种情况.

改进2：整体处理！

[maxg0，g1=g0+g1+g0-g12][=1+2t-12]，

[gx=3x2-3x+12-2t-1x-12≤3x2-3x+12+2t-1x-12≤12+2t-12].

此题的解决过程对疑问的一个个解决，慢慢地揭示了问题的本质，让学生在理想和现实差距间不断调整，逐步解决问题.

三、串题——思维决定策略

每一个题目的解决都能给我们带来新的思路，但一个一个独立的题目往往不能使我们构建解决问题的网络，所以我们要寻找题目与题目之间的联系，通过条件、结论、方法的比对寻找他们之间的联系，不同的思维方式能产生不同联想，使问题形成串联，提炼出问题的精华.

例3 若二次函数[f（x）=x2+bx+c]的图象经过两点[（α，0），（β，0）]，且存在整數[n]，使得[n<α<β

A.[minf（n），f（n+1）>14] B.[minf（n），f（n+1）<14]

C.[minf（n），f（n+1）=14] D.[minf（n），f（n+1）≥14]

分析：二次函数[f（x）=x2+bx+c]的图象经过两点[（α，0），（β，0）]，则函数也可设[f（x）=x-αx-β]，由韦达定理得：[α+β=-b]，[αβ=c].由题意可得，[f（n）>0]，[f（n+1）>0].

当[f（n）=f（n+1）]时，[n+n+12=α+β2]（两点的中点在对称轴上），那么，[n=α+β-12].

当对称轴左右移动时，[f（n），f（n+1）]的值的变化规律相同！

显然[minf（n）， f（n+1）]的最小值可以是0；[minf（n）， f（n+1）]的最大值可以在[f（n）=f（n+1）]的位置取到.不妨考虑[f（n）]，

那么，[f（n）=n-αn-β]=[α+β-12-αα+β-12-β]=[1-α-β24<14]，

因此，[0

例4 若二次函数[f（x）=x2+bx+c]的图象经过两点[（α，0），（β，0）]，且[0<α<β<1]，则[c2+（1+b）c]的取值范围是 .

分析：二次函数[f（x）=x2+bx+c]的图象经过两点[（α，0），（β，0）]，

则函数也可设[f（x）=x-αx-β，由韦达定理得：α+β=-b，αβ=c，因为f（0）=c，f（1）=][1+b+c，那么，c=α·β，1+b+c=（1-α）（1-β）c2+（1+b）c=c1+b+c=f（0）·f（1）=αβ（1-α）（1-β）≤] [α+1-α22β+1-β22=116]

（因为[α≠β]，等号取不到！） [0

上面的两个例题，如果就题论题那将失去它们的价值，我们可以把两个问题放在一起教学！它们的本质是相同的！都是研究两根所在区间的边界的函数值的关系，例3是研究[f（n）]和[f（n+1）]这两点的函数值的大小变化规律和每点的取值范围.例4是隐含了函数值的问题，需要我们先研究[c2+（1+b）c]的特点，发现[c2+（1+b）c=f（0）f（1）]的关系，研究区间边界点函数值的乘积的范围.

数学教师需要解题，正确的解题能帮助我们在课堂上更好地讲题，数学教师需要把所做的题目串点成线，这样能使我们在课堂的讲题丰富多彩，在解题、讲题、串题的研究中，使我们的教学水平不断提高.