辩证的观点，灵活的思维

徐建东

数学题中有已知有未知，解题的任务就是从已知探究未知.为此我们可以总结出一些行之有效的方法，比如繁化简、难化易、多化少、不熟悉的化为熟悉的等等.但是繁与简、难与易、多与少等不是绝对的而是相对的，如果能换一个角度或者从相反的角度看待它们，也许可以把这些矛盾置于合理的情境中实现更顺利的转化，这就是辩证的观点.用辩证的观点看问题，是提高思维灵活性的有效途径.

一、多与少

常规来讲，一元函数比二元函数简单，但是下面的问题体现的就不是这样.

说明 本题若从函数入手，运算量较大，考虑到已知x的范围，把一元函数的问题化为二元函数后反而简单了.这是因为后者能应用基本不等式，在这个更高级的工具下，它呈现出了新的面貌.

二、静与动

一般动态的问题比静态的问题复杂，特别是有两个或两个以上自由量的问题，就更难以处理.如果能把动态的问题转化为静态的问题，就可以达到“以静制动”的目的，从而使问题变得容易掌控.相反，有些静态的问题，如果让它动起来，在运动的过程中反而能看清其本质.所以，在最值问题、范围问题、恒大恒小（可大可小）问题中，不妨尝试一下动与静的转化.

解 以AB所在直线为x轴，A为原点建立直角坐标系，如图1，

表示的方法有两种，一种是基底表示，另一种是坐标表示.不同表示形式导致不同的运算方式.上述两道例题分别利用基底和坐标，本身就代表了两种手段.对静与动的转化更是令人欣喜.

三、数与形

数与形的结合与转化几乎可以看作数学永恒的主题，解析几何的巨大成功，却又使我们认为用代数方法研究几何问题是正途，而忽视借助图形的几何意义解题.其實数与形的转化是相互的，彼此借力、相辅相成是应有之义.

因为椭圆截直线y=kx+3所得的弦长恰好被x轴平分，由椭圆对称性知，

说明 本题若从直线与圆锥曲线的位置关系出发解方程组，将陷入大量的运算.而形的应用给它带来了直观，更容易启发我们的思路.

四、正与反

对于难以从正面入手的数学问题，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显.

解 这个问题的反面是三个集合全为空集，

说明 涉及“至多”、“至少”这类问题，从正面入手一般运算比较烦琐，从反面入手更容易解决.

数学是一个有机的整体，各部分的知识、方法、思想都是相通的，如果能多加思考和总结，增强联系与变化的观点，辩证地对待普遍的和特殊的矛盾，就会大大增加我们的灵活性.endprint