一节三角函数习题课的教学设计及思考

戴素琴

数学习题课在数学教学中占有重要的地位.无论学生对于数学概念、数学命题的掌握，还是对于数学方法、数学技能的运用，都可以通过数学习题的教学得以实现；在数学习题的教学中也可以评价学生数学知识的水平及其发展状况.因此，如何上好数学习题课，越来越受到人们的关注和重视，成为中学数学教学中值得探讨和研究的问题.

教材中的习题是一个教材编制专家们为我们提供的很好的习题课教学的资源，然而却没有很好地被我们所利用起来.下面笔者从一节三角函数习题课的教学设计出发，谈谈利用教材所提供习题的进行习题课教学的思考.

一、教学设计

（一）学生回家作业中一道普遍存在错误的题目

（上海教育出版社高中数学课本练习册高中一年级第二册第52页第5题）

设方程sinx+cosx=a在区间（0，2π）内有两个相异的实数根x1，x2，求a的取值范围及x1+x2的值.

优秀学生解法的展示：sinx+cosx=2sin（x+）

令y1=2sin（x+），y2=a，

在坐标系中作出函数y1=2sin（x+）在（0，2π）区间上的图象，如图.

当x=时，ymax=2；

当x=时，ymin=-2.

函数y2=a的图象是与x轴平行的直线.

结合图形和函数y1=2sin（x+）的对称性可以得到：

当a∈（，2）时，x1+x2=2·=；当a∈（-2，）时，x1+x2=2·=.

（二）变式设计

1.变式1：设函数f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈（0，π）

若方程f（x）=m在区间（0，π）上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

解：f（x）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x

∴f（x）=sin（2x+）+，x∈（0，π）

在坐标系中作出函数y=f（x）的图象，如图。

从图中可以看出：

当m∈（0.5，1）∪（1，1.5）∪{0}时，直线y=m与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点，即方程f（x）=m在区间（0，π）上有两个不同的实数根.

2.变式2：

定义：区间[x1，x2]（（x1，x2）、（x1，x2]或[x1，x2））的长度等于x2-x1.

如果构成不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各个区间的长度之和超过，求实数b的取值范围.

解：原不等式可化为：cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]

设y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]，y2=-b

在坐标系中可作出y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]的图象（可利用变式1），我们在这里保留了[0，π]以外的一小部分.

结合图形可以得到，不等式cos2x+sinxcosx>1，x∈[0，π]的解集為（0，），各个区间的长度之和为.

当-<-b<1时，构成cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和增大，要找使得不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各个区间的长度之和超过的b的取值范围，必先找到cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和等于的临界状态.

同时，我们在观察图形的过程中不难发现，当cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和增大的同时，cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和却在减少.如果设组成cos2x+sinxcosx>-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和为A，组成cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和为B，可以知道：A+B=π.

那么我们的问题就转化为了：找构成不等式cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集的各区间长度之和为的b的值.

当x=时，函数y1=cos2x+sinxcosx，x∈[0，π]有最小值.结合三角函数图象的对称性可以知道，当不等式cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解集为（-，+）时，区间长度为.此时，x=-和+恰好是方程cos2x+sinxcosx<-b，x∈[0，π]的解，可得-b=0.

综上可得，当b>0时，构成不等式cos2x+sinxcosx+b>0，x∈[0，π]的解集的各个区间的长度之和超过.

二、思考

课本习题是教材编写者精挑细选后才定下的，具有鲜明的导向性、典型性、基础性等特点，在巩固、培养和发展学生的数学知识及数学能力上具有举足轻重的地位和作用，课程标准倡导教师立足教材，强调教师不仅是教材的使用者，更应是教材的开发者和再设计者，要创造性地合理使用好教材.数学教育家奥加涅相指出：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……”

高考命题的一个基本理念之一就是：以课本为本，试题源于课本而高于课本.只有熟悉课本（习题），才能快速识别它的原型，从而简缩思维过程.在习题课中利用教材所提供的习题作为基础，要超越模仿和初步变式的阶段，应该要进行进一步的变式，要注意和其他的基础技能初步结合，随着习题变化的增加、涉及范围的扩大、难度的提高，要让学生对解题经验有所“悟”.要用教材习题这块“砖”，引出学生“数学思维”这块“玉”来.

参考文献：

[1]俞新龙.一道课标习题的复习课设计及思考[J].上海中学数学，2010（3）.

[2]陈永明名师工作室.数学习题教学研究[M].上海教育出版社，2010.

编辑 鲁翠红