这些加速器真奇怪！

罗振国

摘要：回旋加速器考点频繁呈现在各地高考试题中，然而近几年的试题所考查的方式和考查的模型已悄然变化，如果我们还是把思维停留在原方式上，在碰到此类新颖题目时，势必会无从下手，所以我们要与时俱进，认识并熟悉这些加速器，只有在平时把功夫下足，我们才能切实提高能力，做到有效得分.

关键词：加速器；方式；能力

回旋加速器是考查带电粒子在磁场中运动的重要模型，一直以来在课本上占据着重要地位，也是高考复习中的备考重点.然而最近几年出现的高考试题却让大部分考生有无从下手之感，试题不仅考查的方式在不断翻新，而且模型也在“乔装打扮”.正所谓“少见多怪”，我们还是来认识一下这些“奇怪”的加速器吧.

一、不一样的加速器

1.同步加速器

例1（2014年高考天津卷） 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图1所示的模型.M、N为两块中心开有小孔的平行金属板.质量为m、电荷量为+q的粒子A（不计重力）从M板小孔飘入板间，初速度可视为零.每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零.两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离.A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化.不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应.求：

（1）A运动第1周时磁场的磁感应强度B1的大小；

（2）在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率Pn；

（3）若有一个质量也为m、电荷量为+kq（k为大于1的整数）的粒子B（不计重力）与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变.下图中虚线、实线分别表示A、B的运动轨迹.在B的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A、B的运动轨迹，并经推导说明理由.

答案（1）1R2mUq（2）qUπRnqU2m（3）A图，理由见解析

解析（1）设A经电场第1次加速后速度为v1，由动能定理得qU=12mv21-0①

A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力qv1B1=mv21R②

由①②得B1=1R2mUq③

（2）设A经n次加速后的速度为vn，由动能定理得nqU=12mv2n-0④

设A做第n次圆周运动的周期为Tn，有

Tn=2πRvn⑤

設在A运动第n周的时间内电场力做功为

Wn，则Wn=qU⑥

在该段时间内电场力做功的平均功率为

Pn=WnTn⑦

由④⑤⑥⑦解得Pn=qUπRnqU2m⑧

（3）A图能定性地反映A、B运动的轨迹.

A经过n次加速后，设其对应的磁感应强度为Bn，A、B的周期分别为Tn、T′，综合②、⑤式并分别应用A、B数据得Tn=2πmqBn，T′=2πmkqBn=Tnk

由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每绕行1周，B就绕行k周.由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速.

经n次加速后，A、B的速度分别为vn和v′n，考虑到④式

vn=2nqUm，v′n=2nkqUm=kvn

由题设条件并考虑到⑤式，对A有Tnvn=2πR

设B的轨迹半径为R′，有T′v′n=2πR′

比较上述两式得R′=Rk

上式表明，运动过程中B的轨迹半径始终不变.

由以上分析可知，两粒子运动的轨迹如图A所示.

解题体会课本上常见的加速器的磁场是恒定的，粒子旋转半径越来越大，而本题中的磁场是不断增大的，粒子轨迹半径不变，即所谓同步加速器.命题人另辟蹊径，将常见模型改头换面，侧重能力考查.

2. 直线加速器

例2（2016年高考四川卷第9题）中国科学院2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加速器.加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用.

如图2所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极.质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变.设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的1/2.质子的荷质比取1×108C/kg.求：

（1）漂移管B的长度；

（2）相邻漂移管间的加速电压.

答案（1）04 m（2）6×104V

解析（1）设高频脉冲电源的频率为f，周期为T；质子在每个漂移管中运动的时间为t；质子进入漂移管B时速度为vB；漂移管B的长度为LB.则

T=1f①

t=12T②

LB=vBt③

联立①②③式并代入数据得LB=04m

（2）设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，电场对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E电场做功W′，质子的电荷量为q、质量为m，则

W=qU④

W′=3W⑤

W′=12mv2E-12mv2B⑥

联立④⑤⑥式并代入数据得U=6×104V⑦

解题体会直线加速器模型是最早出现、最直观的加速器，原理比较容易理解，但是随着速度增大，漂移管越来越长，存在着占据较大空间的缺点，从而被回旋加速器所替代.而2016年高考四川卷重新出现了这个经典模型，对考生来说也是不小的挑战.endprint

3. 扇形聚焦回旋加速器

例3（2016年高考浙江卷第25题）为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”.在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转.扇形聚焦磁场分布的简化图如图3所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布.峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场.质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示.

（1）求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；

（2）求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；

（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系.已知：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2sin2a2

答案（1）r=mvqB；旋转方向为逆时针方向

（2）θ=2π3；T=（2π+33）mqB（3）B′=3-12B

解析（1）峰区内圆弧半径r=mvqB，旋转方向为逆时针；

（2）如图4所示，由对称性，峰区内圆弧圆心角

θ=2π3，

每个圆弧长度

l=2πr3=2πmv3qB，

每段直线长度

L=2rcosπ6=3r=3mv3qB，

周期T=3（L+l）v，解得T=（2π+33）mqB

（3）如图5所示，谷区内圆心角θ′=30°

谷区内的轨道圆弧半径

r′=mvqB′，

由几何关系rsinθ2=r′sinθ′2，

由三角关系sin30°2=sin15°=6-24，

解得B′=3-12B

解题体会本题以“扇形聚焦回旋加速器”为情景设置考题，主要考查带电粒子在磁场中的运动，侧重几何知识的应用，其难度不大.考生需细心画图，找出几何关系.

二、不一般的考查方式

1.从加速器引出粒子的两种方式

例4（2015高考浙江卷第25题）使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等.质量为m，速度为v的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道是半径为r的圆，圆心在O点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B.为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器.引出器原理如图6所示，一对圆弧形金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于O′点（O′点图中未画出）.引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从P点进入通道，沿通道中心线从Q点射出.已知OQ长度为L，OQ与OP的夹角为θ.

（1）求离子的电荷量q并判断其正负；

（2）离子从P点进入，Q点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为B′，求B′；

（3）换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度B不变，在内外金属板间加直流电压，两板间产生径向电场，忽略边缘效应.为使离子仍从P点进入，Q点射出，求通道内引出轨迹处电场强度E的方向和大小.

答案（1）q=mvBr，正电荷

（2）mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

（3）E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rRcosθ）

解析（1）离子做圆周运动Bqv=mv2r①

解得q=mvBr，正电荷②

（2）如图7所示，O′Q=R，OQ=L，O′O=R-r

引出轨迹为圆弧 B′qv=mv2R③

根据几何关系得：R=r2+L2-2rLcosθ2r-2Lcosθ

解得B′=mv（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

（3）电场强度方向沿径向向外；引出轨迹为圆弧，Bqv-Eq=mv2R

解得E=Bv-mv2（2r-2Lcosθ）q（r2+L2-2rLcosθ）

解题体会考生平时练习都在关注粒子在磁场中回旋运动与电场中加速，很少会关注粒子从加速器中引出方法.本题以磁屏蔽通道法和静电偏转法引出离子束的考查方式出现，着实会让考生大吃一惊，另外由余弦定理求半径即考查学生应用数学处理物理问题的能力.

2. 盒中射靶

例5（2015高考重庆卷第9题）图8为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场，其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O′，O′N′=ON=d，P为靶点，O′P=kd（k为大于1的整数）.极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U.质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O′进入磁场区域.当离子打到极板上O′N′区域（含N′点）或外壳上时将会被吸收.两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过.忽略相对论效应和离子所受的重力.求：

（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；

（2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；

（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间.

答案（1）B=22qUmqkd

（2）B=22nqUmqkd，（n=1、2、3…k2-1）

（3）t磁=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1），t電=h2（k2-1）mqUendprint

解析（1）离子经电场加速，由动能定理qU=12mv2，可得v=2qUm

磁场中做匀速圆周运动，qvB=mv2r

刚好打在P点，轨迹为半圆，由几何关系可知

r=kd2

联立解得B=22qUmqkd

（2）若离子经过一次加速后速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P点，而做圆周运动到达N′右端，再匀速直线到下端磁场，将回到O点重新加速，直到打在P点.设共加速了n次，有：nqU=12mv2n

qvnB=mv2nrn，且rn=kd2，解得B=22nqUmqkd

要求离子第一次加速后不能打在板上，有r1>d2，且qU=12mv21，qv1B=mv21r1

解得n

故加速次數n为正整数最大取n=k2-1

即B=22nqUmqkd（n=1、2、3…k2-1）

（3）加速次数最多的离子速度最大，取n=k2-1，离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点.

由匀速圆周运动T=2πrv=2πmqB

t磁=（n-1）T+T2=（2k2-3）πmkd22qUm（k2-1）

电场中一共加速n次，可等效成连续的匀加速直线运动.

由运动学公式（k2-1）h=12at2电，a=qUmh，可得t电=h2（k2-1）mqU

解题体会本题将回旋加速器与质谱仪相结合，其对数学能力要求较高，多次回旋的可能值与临界条件的不等式的应用容易把学生搞晕，命题人在这个地方设置了较大的障碍，考生不容易得分.

3. 加速器的加速效率问题

例6（2016年高考江苏卷第15题）回旋加速器的工作原理如图9所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直.被加速粒子的质量为m，电荷量为+q.加在狭缝间的交变电压如图10所示，电压值的大小为U0，周期T=2πmqB.一束该粒子在t=0 时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零.现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用.求：

（1）出射粒子的动能Ek；

（2）粒子从飘入狭缝至动能达到Ek所需的总时间t总；

（3）要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件.

答案（1）Ek=q2B2R22m

（2）t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）d<πmU0100qB2R

解析（1）由qvB=mv2R，Ek=12mv2，解得Ek=q2B2R22m

（2）粒子被加速n次达到动能Ek，则Ek=nqU0，粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt.

由加速度a=qU0md，匀加速直线运动：nd=12aΔt2，t0=（n-1）T2+Δt，

解得t0=πBR2+2BRd2U0-πmqB

（3）只有在0～T2-Δt时间内飘入的粒子才能每次均被加速，

故所占的比例为η=T2-ΔtT2，

由η>99%，解得d<πmU0100qB2R

解题体会本题考查的内容看似常规，但是难度较大，突破口在于电场中加速时间的等效处理与磁场中环绕次数的换算；其次要理解粒子的飘入时间，只有在0～T2-Δt时间内飘入的粒子才能每次均被加速，从而提高加速的效率.

可见，同样一个加速模型，命题人却有各种各样的不同考查方式，所以我们不能固步自封，要关注新高考，与时俱进.善于抓住问题的本质，掌握带电粒子在电磁场中运动的特征，养成严密的逻辑思维和解题方式，在不同的情景中打开思路，真正提升自己的应试能力.

参考文献：

[1]张平.从三道高考题看回旋加速器的复习.考试研究，2011（32）： 8-9.

[2] 周玮.高考中的回旋加速器问题探析.高中数理化，2012（04）：37-40.