重视数学思维角度，提高解答问题效率

陈向蓓

摘要：解数学题的思维意识是答题者通过审题，在大脑中对题目所涉及问题的一种反应.当学生具备明确而完善的思维能力，便可在解题困境中灵活选择自己的思维方式，使问题得到迅速而准确的解决.因此，注重对数学问题思维角度的选择，是正确解决数学问题的重要方向.

关键词：解题途径；思路方法；整体结构；思维灵活

一、形象思维

从数学问题的感性整体入手，在综合考查的过程中，运用图表图形等直观信息，直接反映事物的本质规律，形象伴随思维，为数学解题提供明确思路方法.

例1复数-i一个立方根是i，则它另外两个立方根是（） .

A 32±12iB- 32±12i

C ±32+12i D ±32-12i

解析抓好复数开方的几何特征：一个复数的n次方根对应复平面上等分圆周的n个点.如图1，由|-i|=1，在单位圆上标出i对应点以后，另两个等分点便可容易标出，故本题应选D.

二、 整体思维

在审题中把解题的注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从整体角度思考，从宏观上理解和认识问题的实质，从而达到尽快解决数学问题的能力.

例2求同时满足：（1）z+10z是实数，且1

解析如果设z=x+yi，（x，y∈R）解题非常繁琐.从整体性质出发，设μ=z+10z，则z2-μz+10=0，由1<μ≤6， Δ=μ2-40<0得：z=12（μ±40-μ2i）.结合条件（2）知：μ=2或μ=6.因此所求复数z=1±3i或z=3±i.

三、类比思维

将数学问题题目中的新问题与已知问题进行类比，模仿相似问题的处理方法.

例3过棱锥高的三等分点作平行棱锥底面两个截面，则棱锥被分成的三部分体积比.

解析本题运用类比方法，可视截得的棱锥和原棱锥为“相似体”.在平面几何中，相似三角形面积比等于它们对应边的平方比.类比可知：三棱锥相似时，它们的体积比等于对应边的立方比.如图2，画出棱锥的一个侧面，并分出三个相似三角形.那么三个三角形所对应的三个棱锥休积比为：13∶23∶33因此所求三部分体积比为12∶（23-13）∶（33-23）=1∶7∶19.

四逆向思维

求解一个问题时，若从正面不能入手或较复杂，可转换到问题的反面，从相反的方向去思考问题，即而找出解题的捷径.善于运用逆向思维是思维灵活的一种表现，培養逆向思维训练是学生创造能力的重要方面.

例4关于x方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一实根.求实数p取值范围.

解析按常规考查关于x的三次方程解的情况，由于是高次方程，求解比较困难.如果将主元x与参数p易位，即柳暗花明.整理成关于p的二次方程p2-（x2+2x）p+x3-1=0.

即：（p-x+1）（p-x2-x-1）=0，解得x=p+1或x2+x+1-p=0由于原方程有且只有一个实根，即方程x2+x+1-p=0没有实数根.由Δ=1-4（1-p）<0得p<34，因此p的取值范围为p<34.

五、极端思维

为解脱出高中数学解题中的纷纭繁琐条件，可利用特殊化思维、极端性原则进入清晰而单纯的境界，为寻求较为复杂问题的解决，提供行之有效解题途径.

例5如图3，多面体ABCDEF中，已知面ABCD边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF和面AC距离是2，求多面体体积.

A92 B5C6D 152

解析因题意，满足条件的EF不唯一，而多面体的体积不变，即可考虑面ADE⊥面ABCD的极端情况.如图的多面体可分割成直三棱棱ADE-MNF和四棱锥F-MBCN，那么

VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN=（12×3×2）×32+13×（32×3）×2=152.因此答案选D.

六、联想思维

联想是心理条件的反射.解题过程中注重由题目提供的信息想到相关的知识与熟悉的数学知识，通过借助相关知识解决题目中的问题.

例6已知a是实常数， x∈R， f（x+a）=1+f（x）1-f（x），判断f（x）是周期函数吗？如是求出它的一个周期；如不是说明原因.

解析由f（x+a）=1+f（x）1-f（x）联想tan（x+π4）=1+tanx1-tanx，所以tanx为原型，a相当于π4，而正切函数周期为π=4×π4，即f（x）的周期为4a.

f（x+2a）=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=-1f（x）.

所以f （x+4a）=f（x+2a+2a）=-1f（x+2a）=f（x）.因此f（x）是周期函数，4a是一个周期.

七、创造性思维

为解决问题寻求答案，提出自己新的见解或产生新的发现的思维形式就是创造性思维.创造性思维形式是思维的较高表现形式，灵敏与审美是打开学生创造思维的的金钥匙.

例7如图4，ABC-A1B1C1是正三棱锥，AB1⊥BC1，求证AB1⊥A1C.

解析本题是一道典型的立体几何题，有较多常规的证明方法.若抛开欧氏几何严谨的逻辑推理，以一个简单的旋转就能证明问题，解法可谓超凡脱俗.

以ΔABC，ΔA1B1C1的中心OO1连线为旋转轴，把正三棱柱逆时针旋转120度.可见：AB1的位置被CA1取替，BC1的位置被AB1取替，因此A1C⊥AB1.

思维意识是影响学生高中数学解题能力的本质原因，是学生拓展解题思路的源泉.解题训练不但可以掌握必须的数学基础知识与技能，还可以促进思维意识的形成、思维能力的拓展.

参考文献：

[1]刘远志精心设计问题，竭力点燃数学思维的火花[J].数理化解题研究 ，2016（15）.

[2] 郦丽学数学 做数学 思数学[J].江苏教育，2013（10）.

[3] 严鸿灏激“趣”与启“思”：数学课堂的两大增效策略[J].福建教育学报，2015（08）.