对2017年理综新课标Ⅲ卷第25题多种解法分析

许龙

摘要：对2017年理综新课标Ⅲ卷的板块问题分别采用了牛顿运动定律、v-t图象法和质点系动量定理分别进行分析解答.

关键词：牛顿运动定律；v-t图象法；质点系动量定理

板块模型是高中物理学最经典的模型之一，以此可以考察牛顿运动定律、动量守恒和动量定理、相对运动和摩擦生热等问题，尤其是其中的多过程考察学生的思维分析和运算能力，此类试题备受高考命题专家的青睐.对于2017年的新课标Ⅲ卷的“压轴”大题就是在板块模型的基础上展开的.笔者以此为模型采用多种方法进行分析，以供学生参考.

1真题

如图1所示，两个滑块A和B的质量分别为mA=1kg和mB=5kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=05；木板的质量为m=4kg，与地面间的动摩擦因数为μ2=01.某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0=3m/s.A、B相遇时，A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2.求：

（1）B与木板相对静止时，木板的速度；

（2）A、B开始运动时，两者之间的距离.

这是一道非常经典的板块模型问题，由于中间过程较多，加速度、速度不断变化，在解题时需要较强的思维能力，以此作为提高理综区分度的“压轴”大题，是再合适不过的了.下面笔者主要对第二问分类分析.

2牛顿第二定律解析法

（1）首先对它们受力分析，如图2所示

滑塊A和B在木板上滑动时A、B仅受木板的摩擦力大小分别为

fA=μ1mAg=5NfB=μ1mBg=25N

若木板运动需克服地面对其摩擦力f=μ2mA+mB+mg=10N，由受力分析示意图可知，木板合力f=f′B-f′A-f=10N.

A和B相对地面的加速度大小分别为aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1.可有牛顿第二定律得

f1 = mAaAf2 = mBaBf = ma1

解得

aA=5m/s2aB=5m/s2a1=25m/s2.

在物块B与木板达到共同速度v1时，经历时间t1有

v1=v0-aBt1=a1t1

解得

t1=04sv1=1m/s

（2）在t1=04s时间内，B运动位移

x1=v0t1-12aBt21=08m

在此时B与木板共速，由于A与B有相同大小加速度，初速度相同，故在此时A的速度大小也为v1=1m/s，方向向左.此后B与木板整体运动，其运动合力、加速度亦有所变化，此时二者合力为

f1+f3=mB+ma2

解得

a2=53m/s2

方向向左，整体做匀减速运动.

在此过程中A的运动方向始终与板运动方向相反，所以其摩擦力、加速度大小方向不变，使得A依然向左做匀减速运动，经过一段时间三者以v2共速，经过时间t2，得

v2=v1-a2t2=-v1+aAt2

解得

t2=03s，v2=05m/s

在此过程中B和木板向右滑行位移为x2，有

v22-v21=-2a2x2

解得

x2=0225m

整个过程中A的位移大小为x3，则有

v22-v20=-2aAx3

解得

x3=0875m

所以可得AB最初距离，也为木板长度为

L=x1+x2+x3=19m

3v-t图象法

对于板块模型用v-t图象法会显得更加方便，这里只需要找到某段过程的加速度和特殊的时间节点就行了.在整个过程中有以下重要信息.

四个加速度：A、B减速运动aA=5m/s2，aB=5m/s2；木板加速加速度a1=25m/s2；B与木板共速后共同减速加速度a2=53m/s2.

两个时间：B减速和木板加速到共速时间t1=04s；B与木板整体减速和物块A先减速后加速到共速时间t2=03s.

两个共速：B减速与木板加速度到共速v1=1m/s；B与木板整体减速和物块A先减速后加速后共速到v2=05m/s.

若以向右为正方向，得到三个物体的v-t图象，如图3所示.

AD为B减速过程，OD为木板加速过程，DE为B和木板共同减速过程，ACE为物块A运动过程，可得凹四边形ADEB所围城的面积为A、B之间的最初距离：梯形ADCB和三角形CDE，有面积公式可得

x=CD+AB2·t1+12CD·t2=19m

该方法相对于牛顿运动定律非常方便，会极大的缩短运算时间.

4质点系动量定理分析法

质点系动量定理：一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力矢量和在这段时间内的冲量.采用此方法时要有很好的全局观，只考虑初末状态而无须深究其中细节，对学生的要求较高，一般只有参加过物理竞赛或者自主招生的考生才会采用该方法.

整个过程中A、B与木板之间的摩擦力为内力，所受外力只有地面给木板的摩擦力f，作用总时间为t，可得

f=μ2mA+mB+mg=10N

若以向右为正方向则有

-ft=mA+mB+mv共-mBv0-mAv0

整个过程中A始终与木板相对滑动，合力为木板对其摩擦力fA，由动量定理可得

fAt=mAv0--mAv0

两式联立解得

t=07sv共=05m/s.

B与木板共速t1=04s，后与木板共同减速到与A共速用时t2=t-t1=03s，在整个过程中B运动位移

xB=v0+v12t1+v1+v共2t2

A运动位移

xA=v共+-v02t2

则BA相对位移为

L=xB-xA=19m

5总结

在近几年的高考试题中板块模型频繁出现，如2015年新课标Ⅰ卷和Ⅱ卷，2011年新课标卷都是对其运动多过程的细节分析，如果有些问题中再结合功能转化的话，其难度又会进一步加强，对学生的要求会更高.这就要求我们教师在平时的教学中更要对这种模型深化研究和分析.

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英普通物理学教程-力学[M].北京：高等教育出版社，20056：95.endprint