正弦函数应用于物理的障碍分析与教学建议

袁芸+袁海泉

摘要：正弦函数的非线性、周期性、对称性特征在高中物理中的应用面很广，本文通过对其特征的阐释，分析了正弦函数应用于物理的障碍，并结合特征和学生的理解障碍提出了有效的教学建议.

关键词：正弦函数；特征；障碍；教学建议

函数图象能够生动形象地表示物理过程、反映物理规律，并且有助于培养学生的思维能力，提高学生对知识的掌握程度以及迁移能力.尤其是正弦图象类题型已经成为高中物理的重点内容，同时也是高考中热点考查问题.例如，正弦交流电的电动势和电流瞬时值问题，机械振动的位移时间关系以及机械波的波动图象等等.然而很多学生面对图象题的时候，并不十分清楚其所表示的物理规律的内涵.

本文就正弦函数图象的特征进行阐述，分析了正弦函数应用于物理的障碍，并提出有效的教学建议，以期对高中生分析和应用此类相关问题起到重要的启发作用.

1正弦函数图象的特征

11非线性

高中阶段的物理图象可以分为线性图象和非线性图象，对于线性图象的分析一般来说较为简单，而且已经有一套行之有效的办法.但是，从本质上来说，线性图象只是非线性图象的特例，非线性图象相对于线性图象来说，较为复杂.非线性图象由于物理量变化的非单调性，斜率的变化，拐点的出现等等都会对物理过程分析带来障碍，这恰恰也是高考中的重要考点.正弦图象的非线性特征是学生理解和分析的难点，我们在学会应用线性图象的同时，就简单推广到非线性的问题导致理解错误，因而应该培养学生应用非线性图象解决物理问题的能力.所以，关注正弦函数的非线性及其处理有重要的意义.

12周期性

周期性是正弦函数的一个重要特征.在高中物理中，周期性的物理问题占有很重要的地位，正弦函数的周期性更是重点和热点，涉及到的内容有简谐运动、波动、交流电等问题.学生理解的难点在于简谐运动的周期；波动的周期性和波传播的双向可能性；正弦交变电流的周期性引起的电场力或电场力做功的周期性.这些问题都与正弦图象有密不可分的联系，并且运动的周期性会导致多解性，周期性多解问题是高中物理的难点，也是考查的重点，因此掌握解答此类问题的方法和技巧十分重要.

13对称性

以简谐运动为例，质点远离平衡位置的过程中，x增大，F增大，a增大，a与v反向，v减小，动能减小；质点靠近平衡位置的过程中，x减小，F减小，a减小，a与v同向，v增大，动能增大；经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同.理解正弦图象的对称性能够使学生对物理过程的分析更加简洁清晰，利用对称性往往能为分析多过程问题提供一种便捷途径，尤其是在周期性的物理过程当中，更能体现出学生对于物理问题的理解程度和对物理过程的整体把握能力.

2正弦函数应用于物理的障碍分析

21学生对于非线性当作线性处理的理解存在障碍

正弦图象所反映的物理过程一般较为复杂，例如物体做简谐运动位移随时间的变化关系，单摆作微角摆动时为简谐振动，也就是说，单摆的微角摆动具有简谐振动的特征，振动周期T=2πLg.事实上，当单摆的摆角小于5°时，常常是采用将其振动的非线性方程线性化的方法，克服了数学上的困难，并且描述了周期是一个与振幅大小无关的常数.根据牛顿第二定律，对于摆长为L，质量为m，处在均匀重力场中的单摆，其振动方程为

d2θdt2+gLsinθ=0

当摆角小于5°时，可用θ代替sinθ，单摆的振动方程可线性化为

d2θdt2+glθ=0

解此θ的线性方程可以得到单摆的振动周期T=2πlg.高中学生对于上述把非线性当作线性处理的过程有理解障碍是必然的，但是笔者认为，基于高中学生的认知水平，他们能够理解的是，单摆在运动过程中受到的回复力是非线性力mgsinθ，其随时间的变化关系是正弦函数，是非线性的.在单摆的初始摆角小于5°的情况下，可以使此回复力线性化为mgθ.所以，教材中也并未要求学生掌握单摆周期公式的推导，只是要求学生通过实验验证了单摆的周期与振幅、质量、摆长无关.但是这种把非线性当做线性处理的方法，对于学生理解非线性函数图象是非常有帮助的.

22学生易忽视正弦函数图象的周期性

在解决关于正弦图象的问题时，例如简谐运动、波动、交流电等问题，学生往往考虑不周，导致漏解，从而在解题的完备性方面有所欠缺.这类问题在高考题中时常会出现，学生之所以经常会忽视正弦函数的周期性，源于学生对物理规律的理解程度不够，分析与综合能力较弱以及对物理问题的思维层次不高，应当引起重视.

例1 如图1所示，在xOy平面内有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，频率为2.5Hz.在t=0时，xP=2m的P点位于平衡位置，速度沿-y方向；xQ=6m的Q点位于平衡位置下方最大位移处.求：波的传播速度v.

解析简谐波沿x正向传播，P点位于平衡位置，速度向下，Q点位于平衡位置下方最大位移处，学生很容易忽视其周期性，误认为P、Q两点之间距离就是34λ.事实上，考虑周期性，ΔxPQ=nλ+34λ（n=0，1，2，……），波长λ=164n+3m（n=0，1，2，……），波速v=λf=404n+3m/s（n=0，1，2，……）.

23學生对于相位概念的理解有偏差

相位的概念对于理解简谐运动以及交流电的变化等问题具有重要的作用，但是由于相位的概念比较抽象，学生理解起来普遍感到困难，所以在教学中应给予重视.在人教版高中物理教材选修3-4中提到，在物理学中用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.我们可以用正弦函数图象x=Asin（ωt+φ）来描述简谐运动的位移x与时间t之间的定量关系.相当于角度的量（ωt+φ）确定时，sin（ωt+φ）的值也就确定了，在振幅确定的前提下，做简谐运动的质点的运动状态也就能完全确定了，所以（ωt+φ）代表的就是简谐运动的相，又叫相位或位相.同样地，交流电的相可以描述和比较交流电的变化步调.学生理解困难的另一个相关的概念就是相位差，相位差是指对于两个相同频率的简谐运动的相位之差，这种情况下，两种运动的振动步调不一致，相位差能够反映一种运动相对于另一种运动振动步调的超前或者滞后，如例2.endprint

例2如图2所示，A、B为两弹簧振子的振动图象，求它们的相位差.

解析从图中可以看出，这两个振动的周期相同，有稳定的相位差，当振子A达到最大位移后再过14周期，振子B才達到最大位移，A比B的相位超前14周期，相位差为π2.

24学生对于等效性的理解不深刻

许多学生并不能真正从等效性上理解正弦函数的某些特征，比如说有效值.提到有效值，学生可能知道I=Im2，U=Um2，光记公式，而弄不懂其内涵.人教版物理选修3-4中对交流电有效值是这样描述的：让交流和恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，而这个恒定电流是I、电压是U，我们就把I、U叫做这个交流的有效值.从有效值的定义看，“有效”指的是电流热效应的等效.

例3将正弦交流电经过整流器处理后，得到的电流波形刚好去掉了半周，如图3所示，它的有效值是

A.2AB.2AC.22AD.1A

解析此时如果还是认为有效值I=Im2=22A，那就大错特错了.运用有效值的定义进行分析，从电流热效应的角度分析，一个周期内，有

I2RT=（Im2）2RT2，得到I=1A，选D.

3教学建议

31帮助学生建立非线性的思维方式

长期以来，学生已经习惯了线性的思维方式，却没有建立起有效的非线性的思维方式.以至于学生对于解决图象题的思路总是局限在线性函数图象的点线面之中，而对于包括正弦函数在内的非线性图象比较束手无策.事实上，非线性问题在现实生活中的应用更加广泛，更具有学以致用的意义.作为教育者，如果单单只注重向学生传授以线性为主的物理模式，就会使学生在无形当中形成比较多理想化的线性模型，处理问题时，不仅思维比较片面，而且也很难把所学知识迁移到实际的非线性问题中去.所以，教师在教学中应该重视非线性问题，让学生多一些非线性的思维和训练，帮助学生建立非线性的思维方式.解决非线性函数图象问题时，往往定性分析较多，通常还需要用到线性与非线性结合的思想，学生要学会特定情况下非线性当做线性处理的方法，教师要能够帮助学生及时理清障碍，让学生能够学会从整体把握非线性图象的特征，清晰地还原图象所反映的物理过程和规律.

32重视周期性问题的教学

周期性是正弦函数图象的典型特征，周期性问题是高中物理中经常出现的问题，更是高考中难点所在.形式不仅仅局限于正弦函数的周期性，高中物理中常见的周期性问题有圆周运动、振动、波动、交变电流以及复合场的周期问题，涉及的内容很广，难度也较大，综合考查学生的推理、分析、综合、比较、归纳等能力.很多学生在碰到复杂的周期性问题时畏难而直接放弃或者漏解.所以教师在教学中有必要引起足够的重视.除了知识教学，更要重视培养学生积极思考问题的能力，发展学生的逻辑水平，让学生学会全面、本质地看待物理图象，还原完整的物理情景和过程.

33使抽象的相位概念形象化

所谓“相位反映简谐运动所处的阶段”，过于抽象，学生难以形成形象的认知.首先，教师在教学过程中可以借助单摆的振动步调来向学生引入相位的概念.例如，对于同时放开的两个小球，我们说它们的相位相同，而对于上面说的两个小球，不同时释放，先把第一个放开，再放开第二个，两者振动的步调不再一致了，说明它们的相位不相同，存在相位差.学生通过单摆的振动步调可以对相位形成一个初步的形象的认识.关于相位概念的深化和拓展可以通过简谐振动的矢量图进一步认识，

如图4所示，把做简谐运动的物体等效过渡为一个矢径（大小等于振幅A）在平面内绕O点逆时针方向的匀速圆周运动.这样就能够巧妙地把周期性变化过渡为角度的周期性变化，把夹角的周期性变化过渡为矢径在x轴上投影的周期性变化.当矢径绕圆心旋转时，矢径与OP之间的夹角随之变化，这个夹角就定义为简谐运动的“相位”.使学生对于相位的理解过程变得具体化和形象化，对突破相位难点，理解物理中的正弦函数图象大有帮助.

34教学中渗透微积分的思想

正弦函数的微分是余弦函数，余弦函数的微分是正弦函数.例如，在产生正弦交流电的过程中，如果闭合矩形线圈从中性面（磁通量最大的位置）开始转动，经过时间t，转过ωt角时，通过线圈的磁通量大小为Φ=NBScosωt，而磁通量的变化率，即感应电动势的大小为E=NBSsinωt.线圈平面通过中线面时，Φ最大，E=0；当线圈转过的角度ωt=π2，处于与磁场平行的位置时，磁通量Φ=0，而感应电动势E=NBS，达到最大值.通过微分的思想，学生能更好地理解正弦交流电中的中性面的特征.积分的思想对于物理中非线性图象问题的解决很有帮助.例如，可以应用于正弦电流平均值及有效值的求解.对于正弦电流i=Imsinωt，由电流热效应的等效可知，在一个周期T内，Q=I2RT=∫T0i2Rdt，从而得到I=Im2.并且，在其他情况下同样适用.因此，笔者认为在教学中适当渗透微积分的思想很有必要，可达到良好的教学效果.

参考文献：

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