一道物理竞赛题的多解探讨

谈姝 陈珂

摘要：静力学是高中物理竞赛中重点考察的内容之一，笔者通过一道竞赛题，从不同的角度进行求解，运用多种物理思想，如微元法、巴普斯定理、虚功原理，加深学生对物理基本概念、基本原理的理解，对促进学生的物理思维品质有很好的启发作用.

关键词：微元法；质心；巴普斯定理；虚功原理

静力学是高中物理竞賽中重点考察的内容之一，笔者通过一道竞赛题，从不同的角度进行求解，运用多种物理思想，加深学生对物理基本概念、基本原理的理解，对促进学生的物理思维品质有很好的启发作用.

题目如图1所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ，试求铁链A端受到的拉力T.

力观点解法1“微元法”.微元思想是物理竞赛中考察的一种重要思想.

在铁链上任取长为ΔL的一小段（微元）为研究对象，其质量为Δm=ρΔL.如图2，切向受力关系为：

Ti+1=Ti+Δmgcosθ即

ΔT=Δmgcosθ

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔT，所以整个铁链对A端的拉力是各段上ΔT的和，即

T=∑ΔT=∑ρΔLgcosθ=ρg∑ΔLcosθ

其中，∑ΔLcosθ是铁链长在竖直方向上的投影ΔR，即：T=ρg∑ΔR=ρgR.

力观点解法2利用巴普斯定理的推论，确定铁链的质心，再根据共点力原理求出拉力T.

根据巴普斯定理可以得到如下推论：一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面的面积等于质心在运动中所经路程和曲线长度的乘积.

如图3，设铁链的质心为Oc（x，y），以y轴为中心，旋转一周，扫过一半球面，其面积为S=2πR2，质心所经路程为L=2πx，根据巴普斯定理得到：S=2πR4L

因此质心横坐标x=2Rπ，对铁链受力分析如图4，根据共点力的平衡可知：

T=mgtanα

其中α=xR=2π ，m=ρ2πR2

代入得：T=ρgR

能量观点解法3假想在A端用拉力T使铁链缓慢发生很小一段虚位移ΔL，由功能关系可知，拉力做功等于弧长为ΔL的铁链增加的重力势能，即：TΔL=ΔmgR=ρΔLgR.

整理得：T=ρgR

虽然前两种方法比较繁琐，但“微元法”的思想、质心概念、共点力平衡原理都是高中物理竞赛中的重要思想及原理，解法3从能量观点出发利用了“虚功”原理，达到了相同的效果，此法最为简便.这种一题多解的体验对学生对基本概念和基本原理的理解是不无裨益的、同时促进学生物理思维的广度和灵活性.

参考文献：

[1]舒幼生高中物理竞赛培优教材[M].浙江大学出版社，2012，7.

[2]钟小平高中物理竞赛培优教程习题全解[M].浙江大学出版社，2014，11.endprint