抓住根本分类思考

张安娴

摘 要：通过研究相似三角形判定的方法，归结出两类不同的问题，掌握分类标准分析图形。希望学生能通过有效的学习，掌握分类要求，培养图形分析的能力，对这类的数学问题找到行之有效的方法，使相似问题的学习变得轻松，掌握牢固。

关键词：相似三角形；对应；分类

相似三角形是初中平面几何部分的重点，也是难点。题目条件和图形的千变万化，往往成为学生判定相似三角形的最大障碍。在问题分析中，常常有些问题出现多解的情况，为此学生感到非常困惑，难以把握。因此，在学生掌握了相似三角形的基本性质和判定之后，设计了一堂专题学习课，希望通过本节课的学习，学生能从问题分析中掌握解决相似三角形多解问题的基本方法，学会分类思考，把复杂问题转变成基本题型，从而讓以前难以解决的问题得到根本的解决。

环节一：边的分类

例题1：已知△ABC三边长分别是4，6，8，△DEF的一条边为12，要使△DEF与△ABC相似，则另两边的长分别是多少？

问题分析：要使△DEF与△ABC相似，根据三角形相似的判定定理，相似三角形三边对应成比例。但是根据现有条件，并不清楚△DEF的这条边12与△ABC的哪条边对应。因此根据相似定理以及对条件的分析，需要根据边的对应做分类讨论：

环节二：角的分类

例题2：如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE等于多少？

问题分析：△ADE与△ABC相似，已经具备了什么条件呢？∠A是两个三角形的公共角，如果两个三角形相似，根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例及夹角相等，那么还需要找到∠A的两条邻边对应成比例，因此这个问题依然可以通过对边的分类找到解决问题的方法：若AD与AB成比例，则AE与AC成比例，从而求出AE；若AD与AC成比例，则AE与AB成比例，从而求出AE。但换个角度思考，判定两个三角形相似除了上述方法，还可以用“两角对应相等”这一判定方法解决问题，因此抓住“角”进行分类：若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC；若∠ADE=∠B，则△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形对应边成比例，计算AE的长度。

例题3：如图，若△ADC与△CDB相似，试判断△ABC的形状，猜想CD与AB有何特殊的位置关系？并证明你的结论。

问题分析：这是一道难度比较大的相似问题，仔细分析条件，思考的难点在哪呢？这个问题和例1、例2 中所呈现的较为明显的分类标准不同的是，要使△ADC与△CDB相似，缺乏任何一个已知条件，无论是边还是角都没有找到一组对应关系，这就让我们学生的分类思考陷入无从下手的境况。因此如何分析解决，有层次的思考，是本道题的突破点。其实我们依然要抓住相似的本真：对应角相等来分析。下面我们通过简单的思维导图来帮助分析：

通过思维导图我们不难发现问题解决的根本依然是抓住角的对应相等来进行分类，理清思路，问题就不难解决了。

纵观一堂课所设置的两个环节，其实就是抓住相似问题讨论的最根本两个方面：“边和角”。通过三个例题，希望学生能理清分类标准，有层次地思考、讨论，抓住本质，解决问题。学生在这样的数学思维中很好地培养了自己的学习习惯，提升了数学素养，学习了有意义的数学。

参考文献：

朱德全.基于问题解决的处方教学设计[J].高等教育研究，2006（5）.