昆虫跳高能力的数学模型

颜笑飞　高军晖

摘 要：跳跃是动物（昆虫）的运动方式之一，考虑到昆虫的体型比哺乳动物小很多，但是跳高能力与哺乳动物在一个数量级，因此很多人认为昆虫的跳跃能力很强。本文简单论述了昆虫跳跃的力学与生物学基础，并对动物的跳高能力建立了简单的数学模型，对模型求解发现，动物的跳跃高度与自身的长度无关，动物之间的跳高能力也基本接近。

关键词：昆虫 跳跃 高度 数学模型

中图分类号：TP242；Q969 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）11（b）-0238-03

跳跃是动物（昆虫）的运动方式之一，有的动物跳得高，有的动物跳得低。那么这种能力和哪些因素有关呢？

英国剑桥大学的Burrows教授花费30年的时间来研究动物的跳跃机理，并于2003年在《Nature》上发布了昆虫跳跃性能和机理的新发现[1]。其研究结果表明长腿动物依靠杠杆原理，短腿动物依靠弹射瞬间释放储存的能量，以及兼有这两种跳跃运动特征的杠杆弹射机理。对于生物体来说，跳跃是利用下肢的快速伸展来使身体腾空。所以，还有一些研究者将更多注意力放在了昆虫的快速释放结构上。

人、狮子、老虎、猫、狗、袋鼠、跳蚤、蚱蜢，尺寸差异那么大，但能跳起的最高高度都是1m左右。猫、狗都能跳1m左右，老鼠能跳40cm，老虎能跳2m，袋鼠能跳2～3m高。注意，这里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”，而是生物让自己重心升高的高度。因此，动物间跳越高度的差异并不大，反而是动物的形态尺寸的差异很大，这其中有什么密码吗？本文对这个问题建立简单的数学模型进行分析。

1 昆虫跳跃的力学与生物学基础

当昆虫准备跳跃时，它降低重心，压缩腿，然后屈肌腱动作[2]。屈指肌腱和伸指肌腱像杠杆。肌腱突块起（lump）增加屈肌腱力臂和扭矩。然而，伸肌腱的力臂很小。屈肌腱的力矩逐渐增大，伸肌腱的力量和力矩也随之增加。当昆虫起跳或起飞时，屈指肌腱松弛，伸肌腱行使功能。由于伸肌腱被压缩产生了巨大的力和力矩。当昆虫跳跃时，伸腱臂随着伸肌腱与小腿夹角的增大而增大，且扭矩逐渐增大。因此，昆虫可以利用杠杆原理利用微小的能量来获得巨大的跳跃力，如图1所示。

力量和速度是昆虫在跳跃的过程中必不可少的。但两者是不可调和的矛盾，换言之，满足了力量而缺乏了速度，满足了速度缺乏了力量。而昆虫的腿部结构能够满足这一特点。因为昆虫在起飞前收缩后足内部肌腱和肌肉的软组织，将部分能量储存在表皮上。在跳跃时瞬间释放能量。研究表明，昆虫跳跃所需的能量有一半是由表皮产生的。

在一些昆虫，如蜻蜓和蚱蜢，其体内含有一种橡胶状的蛋白质，这种非凡的蛋白质叫做弹性蛋白，它帮助昆虫扇动翅膀，跳跃和啁啾。科学家半个世纪前在蝗虫的铰链和蜻蜓的弹性肌腱上发现了弹性蛋白[3]。这种天然蛋白质比最好的合成蛋白质更有弹性，可以延伸到其自身长度的3倍，并可以很快恢复到原来的形状。此外，反复拉伸和回弹都不会失去任何弹性。这也是昆虫在整个生命周期中跳动或弹跳数百万次的关键。

2 动物跳高能力的数学模型

一个动物身体小，力量也小，但正因为它身体小，跳起 1m也不需要太大的力。反之，大型动物力量倒是大，不过要跳起来确实也需要很大的力。这就让动物们能够跳起的高度变得平衡。不过，为什么这两个因素能够平衡，而不是一个压过另一个呢？

让我们先看看人体。当人体在原地跳跃时，肌肉收缩产生张力，控制膝关节角度的变化，使下肢从静态的蹲状态突然伸展，带动身体加速垂直向上运动，然后逐渐降低到负值。为了提高离开地面的速度，一开始必须用力蹬地，以获得最大的初始扩展速度。但是随后的制动必须是缓慢的，因为过度的制动会导致约束过早释放，导致身体还没有积累足够的垂直速度来原地跳起[4]。

接下来，我们对动物的跳高能力建立数据模型来分析，先列出模型中涉及的变量，见表1。

我们把动物在每次跳跃中足部可以提供的能量记作E，生物自身的重量则记作W，那么动物跳起的高度H应该正比于E/W。假设动物的形体都很相近（动物的身长和体重一节）[5]，我们这里用特征长度L表示。L可以是一维长度，比如身长。那么，我们有：

假设动物身体的密度差异不大，则公式（3）说明动物跳起的高度H与动物的特征长度L无关。

小时候大家应该都听说过，跳蚤巨牛无比，能跳起1m多高，是自身高度的100多倍。原来，不管什么都能跳起1m多高，这个倍数关系这么惊人，只是因为跳蚤自己太矮罢了。

3 讨论

本节讨论两个问题，一个是昆虫之间的跳高能力差异，另外一个是昆虫机器人的跳跃能力。

昆虫之间的跳高能力差异分析。这里我们仅列出5种昆虫的体型、跳跃高度、跳跃足数和跳跃方式，见表2。

下面简单讨论一下关于昆虫机器人的弹跳能力研究。

在意大利的圣安娜高级研究学院，CRIM实验室的达里奥教授带领的研究组在2006年开发了Grillo微型弹跳机器人[6]，见图2。Grillo用四个弹簧作为稳定的前脚，背部的弹簧执行器提供弹跳力。整体重量仅为15g，前进速度可达1.5m/s。

俄亥俄州立大学的詹姆森博士，在2001年分析了可以跳跃和奔跑动物的运动步态，进一步深入研究机器人的跳跃模型和运行机制，对四足机器人的各种运行步态的动态性能分析，这些研究均为可实现像四足动物一样的高速机器人的发展奠定了理论基础[7]。日本东京工业大学的Fumitaka Kikuchi，在2003年提出了一个圆柱驱动四足机器人的行走和跳跃程序，如图3所示。四足跳跃机器人的每一条腿由一个四连杆机构和两个气缸组成，其中气缸为机器人提供跳跃和行走的动力。在实验中，气缸的力和速度足以提供跳跃所需的能量，并验证了机器人的着陆缓冲性能。

2016年12月，加州伯克利大学博士生Duncan Haldane研发了第一代Salto机器人，并在当时登上了《机器人科学》（Science Robotics）的封面，相关论文被IEEE/RSJ智能机器人和系统国际会议（IROS）收录[8]。Salto-1P重约100g，站起来只有10寸高（约26cm），这个机器人却能平均每隔0.58s进行一次高达1m的跳跃。如果这个机器人身高170cm的话，那么它能跳到大约6.46m的高度！

4 结语

动物间跳越高度的差异并不大，反而是动物的形态尺寸的差异很大，本文尝试对这个问题建立简单的数学模型进行分析。本文首先论述了昆虫通过昆虫跳跃的力学与生物学基础，然后建立了动物跳高能力的数学模型并求解，结果发现动物跳起的高度H与动物的特征長度L无关，此外，本文还讨论了昆虫之间的跳高能力差异，以及昆虫机器人的跳跃能力等问题。

参考文献

[1] Burrows， Malcolm.Froghopper insects leap to new heights[M].Macmillan Publishing Ltd，2003.

[2] 卢鑫.几种蝗虫跳跃行为研究及其跳跃足生物材料力学分析[D].吉林大学，2013.

[3] 昆虫体内超级蛋白有望用于医药领域[EB/OL].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_517aafe10101g3e7.html.

[4] 张润梅.几种运动中的力学原理[EB/OL].http：//www.lanxicy.com/read/739a0e651ebe4007041a710c.html.

[5] 姜启源.数学模型[M].2版.北京：高等教育出版社，1987.

[6] 陈大竟.微型仿生跳跃机器人的研究与发展[J].国际生物医学工程杂志，2008，31（4）：231-234.

[7] 刘天奇.仿生跳跃机器人技术的研究[D].东北大学，2010.

[8] https：//spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics-hardware/salto1p-is-the-most-amazing-jumping-robot-weve-ever-seen.endprint