一道试题的自洽性探讨

陈华强 曹刚

摘 要：笔者从一道试题的解析引起的争议出发，从定性判断和定量分析两个角度进行了推证，进而探讨该试题不自洽的根源。

关键词：自洽性；定性判断；定量分析

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）12-0055-3

1 问题提出

笔者所在学校高三年级最近一次理科综合考试中有一道选择题，在试题讲评结束后引发了关于试题自洽性的争议。试题如下：

如图1所示，滑块A、小球B由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的足够长的斜面上，斜面的倾角α=30°，B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。先用手控制住滑块A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为M，B、C的质量均为m，重力加速度为g，A与斜面间的动摩擦因数μ= ，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，设A沿斜面下滑的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）

图1 题目示意图

A.M=6.4m

B.A、B速度最大时弹簧处于原长状态

C.A到达最低点时C速度大小为7.4vm

D.从释放A到C恰好离开地面的过程中，滑块A、小球B组成的系统机械能一直减小

解析 滑块A速度最大时，加速度为零，故对A，根据牛顿第二定律：

Mgsin30°-μMgcos30°-T=0

此刻，小球B的加速度也为零，有T-mg-F=0

对小球C，有F-mg=0

联立上述三式求解可得M=6.4m，故A选项正确。

显然，A、B速度最大时弹力等于C球的重力，弹簧处于伸长状态，故B选项错误。

当滑块A到最低点时，A、B速度均为零，设从速度最大到最低点经历的时间为t，由动量定理：

对A：Mgsin30°t-μMgcos30°t-IT=0-Mvm

对B、C整体：IT-2mgt=mvc-mvm

联立两式求解可得：vc=7.4vm，故C选项正确。

以A、B为一系统，从释放滑块A到小球C恰好离地的过程中，根据功能关系：

-μMg30°x+W =ΔE

可分析：在此过程中弹簧的弹力先做正功，后做负功，但任意时刻弹力都小于滑块A所受的摩擦力，所以A、B系统在该过程中除重力之外的其他力一直做负功，机械能减小，故D选项正确。本题的正确答案为A、C、D选项。

上述解析看起来是完美的，几乎欺骗了所有的老师和学生。就在笔者按照上述解析讲评完试题后，有学生提出了质疑，C选项可能有误。经过一番讨论，笔者用反证法定性判断和直接定量分析予以推证，过程如下。

2 反证法定性判断

以小球C刚离地为初状态，滑块A到最低点为末状态，该过程中，设x1为滑块A的位移，而x2为小球C的位移，初状态弹簧的伸长量Δl0= ，如图2所示。

图2 过程示意图

以A、B、C为一个整体，根据动能定理：

Mgsin30°x1+W弹-μMgcos30°x1-mgx1-mgx2=

E -E

再根据弹力做功的特点：

W =- k（Δl +x -x ） - kΔl

其中μ= ，M= m

令Δx=x -x

代入解得：E -E =- kΔx2，即E

若试题中C选项成立，则有：

E = （M+m）v =3.7mv

E = m（7.4vm）2=27.38mv

有E >E

这显然与上述推导矛盾，故C选项不成立。

3 定量分析

上述推证仅仅说明C选项是错误的，但错误的根源在哪里呢？我们作定量分析，进一步探讨。

设绳上拉力为T，则对A、B、C分别由牛顿第二定律：

对A：Mgsin30°-μMgcos30°-T=M

对B：T-mg-k（Δl0+x1-x2）=m

对C：k（Δl0+x1-x2）-mg=m

代入Δl0= 及M=6.4m，上述方程简化为：

对A：2mg-T=6.4m （1）

对B：T-2mg-k（x1-x2）=m （2）

对C：k（x1-x2）=m （3）

（1）式+（2）式可得：-k（x1-x2）=7.4m （4）

（4）式-7.4（3）式可得：

-8.4k（x1-x2）=7.4m （5）

稍作整理可得：

+ （x1-x2）=0（6）

其通解为（x1-x2）=Acos（wt+φ），其中w= ，A、φ为待定常数。

由初始条件：t=0时，x1-x2=0

（x1-x2）=vm

可推得： Acosφ=0，-Asinφ=vm

解得：x1-x2= sinwt（7）

將（7）式代入（4）式，有

7.4m =- v sin wt（8）

两边对t积分：7.4m = v cos wt+C，

C为待定常数。

由初始条件：t=0时， =v

解得：vA= = （cos wt+7.4）

其中w=

以小球C刚离地时为时间零点，所以最小速度vAmin= （-1+7.4）= vm>0，滑块A的速度不会减小到0，故题设条件不成立。

行文至此，我们发现解析中通过动量定理求解出C选项是正确的，而反证法定性判断C选项不成立，造成试题不自洽的原因是什么呢？从上述推证不难看出：滑块A和小球B、C在运动过程应该遵守动量定理，但它们还应该遵守功能关系。换言之，命题人只是片面地利用某一种规律去设置了问题，而没有考虑到问题应该遵守的全面规律，这是试题命制过程中出现不自洽的最普遍的现象。

笔者和学生在定性判断后，继续进行了定量分析。结果发现C选项错误的根源在于命题人认为滑块A向下运动过程中有最低点，并以此作为设计C选项的基础，而定量分析的结果表明滑块A沿斜面下滑的最小速度不为零，根本不存在最低点，从而造成了本题的不自洽。通过和学生一起探讨本问题的自洽性，激发了学生的批判精神，从而保持了对物理学科的热情，期望每一个问题的出现都能成为教育的契机，在追求问题解决的过程中发展学生的学科素养。

参考文献：

[1]李媛媛.对卫星变轨过程中一个常见问题的思考[J].中学物理教学参考，2017，46（9）：49-51.

[2]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013：302-320.

（栏目编辑 罗琬华）