如何求解动圆问题

付玉桂

摘 要：圆做为一个整体运动或绕某点转动，就是要求从变换的角度和运动变化来研究圆，通过“对称、运动”等研究手段和方法，来探索与发现圆及相关图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理.在变化中找到不变的性质是解决“动圆”问题的基本思路，在动圆的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，是做推理计算的基础，综合应用数学各块知识，才能突破认知的障碍.

关键词：动圆；变化；求解策略

一、图解法解决动圆问题

例1 如图1，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）.

A.3次 B.4次 C.5次 D.6次

解析 根据题意作出图形，如图2，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选B.

例2 通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图3）.在图4中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为（ ）.

解析 如图5，它从C位置开始，滚过与它相同的其他2014个圆的上部，到达N位置，该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段（CD，FN）是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度（如DE）的弧长；从N位置开始到达C位置与上面的相同. 所以可得：

二、根据对称性求解动圆趣味问题

例3 如图6，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥23r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）.

解析 在运动过程中，圆形纸片“不能接触到的部分”是当圆形纸片与等边三角形的两边相切时，圆形纸片与等边三角形的两边围成部分，根据等边三角形和圆的性质及对称性，知共有三个相同的部分，因此，如图7，连接圆形纸片的圆心O与两边的切点D，E，连接AO，则OD⊥AD，OE⊥AE.

三、分段或分类求解动圆问题

例5 如图10，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=πr2，半徑为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是.

参考文献：

[1]张金兰.“动圆问题”探讨[J].语数外学习（初中版上旬），2014（08）.

[2]唐耀庭.一个数学问题的探讨——动圆与定圆做无滑动滚动运动的有关计算[J].数学大世界（初中版），2014（04）.endprint