六年级上册数学《圆的面积》教学案例

山西省忻州市神池县义井联校 樊国清

【教学过程】课前三分钟表演。

师：刚刚，可爱的圆还不知道自己的面积该怎么计算了。这节课就让我们一起来研究《圆的面积》。

【组一】

生1：下面由我们组的同学给大家汇报圆面积公式的推导过程。

生2和3：把圆平均分成16份，边剪边拼。

生4：学生边解释边板书。

生5：这样转化利用了以前学过的转化思想，就是把圆的面积转化成平行四边形的面积来求，这个过程中，它们的形状变了，但是面积不变。

生补充：转化成的平行四边形不是标准的平行四边形，是一个近似的平行四边形，

因为平行四边形的底，不是直的，是曲线，所以是一个近似的平行四边形。

师：大家还有别的方法吗？

【组二】

生1：我们组拼成的图形，像一个平行四边形，更像一个长方形。

生2和3：学生边剪边拼。为了数起来方便，我们组在剪的时候就把每个小扇形上

标上数字，这样拼的时候就不容易弄丢。

生4：学生边解释边板书。

生补充：我觉的你们组这个数字标的很有用，很方便，拼的时候不容易漏了，我们应该像你们学习。

师：刚刚他们组说把圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼起来的图形就越像长方形，是这样吗？

师：请看课件，老师先是把圆平均分成了4份，看起来有点像什么图形？

接着把圆平均分成了8份，看起来有点像什么图形？

随后又把圆平均分成了16份，这时，拼起来像什么图形？

然后又分成了32份，看起来更像一个平行四边形，同时也接近了长方形。

把圆平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。也就是说，把圆平均

分的份数越多，圆就会无限的逼近长方形。这里边又用到了一种新的思想——

“极限”思想。

师：“极限”思想是魏晋时期的刘徽老爷爷最早提出的，他在《九章算术》中独创性的提出了“割圆术”，也就是通过圆的内接或外接正多边形面积来求圆面积的一种方法，也使得刘徽老爷爷成为世界上第一个认识到极限概念的数学家，为我国乃至世界数学史的发展奠定了基础，他的著作《九章算术》也成为了全世界最宝贵的数学遗产。

【组三】

生1：我们组是把圆的面积转化成梯形的面积来求的。

生2和3：把圆平均分成32份，拼成一个近似的梯形。学生边剪边拼。

生4：学生边推导，边板书。

生提问：我不太清楚为什么梯形的上底加下底就等于圆周长的一半？你们能帮我解释一下吗？

生5：因为我们是把圆平均分成了16份，也就是把圆的周长平均分成了16份，每

一个小三角形的底就是圆周长的1/16，梯形的上底和下底加起来总共是8个小三角形的底，所以上底加下底的和就是圆周长的8/16，也就是圆周长的1/2，大家明白了吗？

生补充：我来给大家解释一下，为什么下底是5个小三角形的底，下面这一行虽然又9个小三角形，但是用到底的只有这5个，这4个只是用到了它们的顶点，它们就相当于是梯形下底上的四个点。

师：这个小组的同学，真是动脑筋的好孩子呀，讲解的很细致，很清楚。还能解答大家提出的疑问，真是我们学习的榜样！

【组四】

生1：我们组有两种推导的方法，首先介绍第一种方法。

生2和3：我们是把圆平均分成16份，每一份都可以看做是一个近似的小三角形。

把这些小三角形拼起来，就可以拼成一个近似的大三角形。

生4：三角形的底是由四个小三角形的底构成的，三角形的底是圆周长的1/4，三角形的高是4个半径，三角形的面积=底x高÷2，可以推导出圆的面积就是πr2 。

生5：把圆平均分成16份，每一份就是一个近似的小三角形，这个小三角形的面积就是整个圆面积的1/16,圆的面积就等于16个小三角形的面积，三角形的底=圆周长的1/16，三角形的高是圆的半径，可以推导出圆的面积就是πr2。

生补充：我是把圆剪成了32份来拼的三角形，但是32份就不能拼成三角形，所以，只有16份的时候才能拼成三角形了，32份的时候不能拼成三角形。

生补充：你们的第一种方法，圆的面积就等于三角形的面积，但是第二种方法的时候，圆的面积就不等于这个小三角形的面积呀！

生5：第一种方法是把圆的面积完全转化成了大三角形的面积来求的，第二种方法

的时候，圆的面积不等于一个小三角形的面积，但是圆的面积就是由这16

个小三角形构成的，所以圆的面积就是小三角形面积的16倍。

生提问：那这个小三角形的底怎么算了？

生5：小三角形是整个圆的1/16，所以，小三角形的底就是圆周长的1/16。

师：这个组的同学真了不起了，想到了两种方法，但是这两种方法有着本质的区别，其中第一种是将圆的面积转化成三角形的面积来求，是我们以前说过的等积变形法。但是第二种方法，是把圆平均分成16等份，取其中的一份来推导圆的面积，这是等积变形吗？（不是）但是我们仍然可以用这一个小三角形的面积来推导出圆面积的计算公式，这就需要我们大家认真、细致的进行推理。所以，这两种方法所用到的思想有不一样的地方。

师：要计算圆的面积，必须知道什么条件呢？

师：这节课我们不仅又一次的利用了转化及推理的思想，同时又认识了一种新思想——“极限”思想，最终帮助圆，探究出了它的计算公式是S=πr2。希望同学们今后掌握更多的学习数学的方法，为数学史的发展贡献自己的一份力量。

今天的课就上到这里，下课！