气浮台—复合材料层合板多体系统的刚—柔耦合动力学研究

周宇航　刘锦阳　武泽　余征跃

摘要：基于非线性应变和位移关系，忽略横向剪切变形，用绝对节点坐标法建立了大变形复合材料层合板几何非线性动力学模型。在此基础上，综合考虑层合板风阻和气浮台风阻的影响，建立了气浮台一复合材料层合板多体系统的刚-柔耦合动力学模型。为了真实反映物体之间的约束关系，将气浮台和层合板之间的约束表示为面与面的固定约束。在单轴气浮台动力学仿真实验平台上进行了带有角位移驱动的复合材料层合板大变形刚一柔耦合动力学实验，验证了理论模型的正确性。比较了传统的点固定约束与面固定约束的计算结果差异，阐明了面固定约束的合理性。此外，分析了层合板风阻和气浮台风阻对仿真结果的影响，说明了考虑层合板风阻的必要性。

关键词：多体系统；刚一柔耦合动力学；复合材料层合板；大变形

引言

随着航空航天领域中新技术的不断引入，航天器中新型材料的应用也在不断增加。航天器中的柔性部件（例如卫星、空间站上的太阳能帆板、通信天线等）的比例越来越高，柔性部件的尺寸越来越大，这些柔性部件的伸展运动范围已经远远超过航天器本体的尺寸，可以被当作大变形的柔性体。航天器在外部激励作用下作大范围运动，会引起柔性部件发生弹性变形，与此同时，柔性部件的弹性变形会对航天器本身的姿态控制和轨道控制产生明显的影响。因此，大变形多体系统刚一柔耦合动力学研究是航空航天领域的一个热点问题。

复合材料在航空航天领域应用最为广泛，复合材料中具有层合结构的板称为层合板。层合板由于结构形式多样，成形工艺简单，具有较强的可设计性，因此在飞机、飞艇等航空器和卫星、空间站等航天器的结构中应用十分普遍，有必要将大变形刚一柔耦合动力学建模理论研究推广到复合材料层合板。

混合坐标法采用刚体大范围运动坐标和弹性变形坐标为广义坐标，建立刚一柔耦合的动力学模型，该方法的优点是可以在小变形的情况下通过模态截断法缩小广义坐标的规模，但是在大变形情况下，模态截断法不再适用，质量阵和刚度阵都含有与广义坐标相关的高次项，因此计算效率较低。

Shabana提出的绝对节点坐标法已广泛应用于大变形柔性多体系统动力学分析，该方法的特点是选取柔性梁或柔性板各单元节点相对惯性基的位移和斜率作为广义坐标建立动力学方程，广义坐标全部是全局坐标，得到的质量阵为常值阵，广义外力阵的表达式也比较简单，只有广义弹性力阵为非线性阵。Berzeri和Shabana基于绝对节点坐标法，提出了平面梁的三种几何非线性动力学模型，研究了各种模型对大变形问题的适用性。在此基础上，Berzeri和Shabana用绝对节点坐标法研究了动力刚化问题，通过数值对比验证了该方法的正确性。Omar和Shabana进一步考虑剪切效应，建立了二维梁的有限元模型。在平面梁的基础上，Dorabrowski将绝对节点坐标法推广到大变形的空间梁。近几年来，Dmitrochenko和Pogorelov等学者建立了48自由度的梯度缺陷矩形薄板的二维有限元模型。K Dufva建立了36自由度的梯度缺陷矩形薄板的二维有限元模型。邹凡和刘锦阳将大变形薄板的动力学建模理论研究推广到多体系统。Sanborn提出了FMEM方法减少CID现象的影响。Mikkola等学者进一步考虑剪切变形，建立了三维矩形薄板的有限元模型。为了提高绝对节点坐标法的计算效率，刘铖等学者采用第一类Piola-Kirchhoff应力张量的方法推导了弹性力和Jacobi矩阵的解析表达式，并验证了理论模型的准确性。赵将等学者针对简化的“IKAROS”自旋展开太阳帆系统，结合自然坐标方法与绝对节点坐标方法对其进行建模，研究了黏弹性太阳帆薄膜自旋展开过程的动力学特性。以上工作的研究对象均为各向同性材料的梁和板。在此基础上，刘铖、田强等学者用绝对节点坐标法建立了复合材料三维矩形板的动力学模型，但由于直接采用连续介质力学方法描述应变能，容易产生泊松锁定现象。

在刚-柔耦合实验研究方面，楊辉通过气浮台和弹性梁的动力刚化实验和刚-柔耦合实验验证了一次近似理论的正确性，指出零次近似模型仅适用于低速转动的多体系统，但是杨辉的刚-柔耦合实验对象局限于小变形的平面梁，没有进一步对大变形问题进行分析。为了验证绝对节点坐标法的正确性，Yoo等学者首先用快速相机对大变形薄板进行实验研究，并将测量技术推广到大变形多体系统。邹凡、刘锦阳、余征跃等对气浮台-大变形薄板多体系统开展了实验研究。以上动力学实验对象都是各向同性梁或板，而针对大变形复合材料的刚-柔耦合动力学实验开展很少。

本文研究大变形复合材料薄板的多体系统刚-柔耦合动力学建模和实验技术。基于绝对节点坐标法，从格林应变和曲率与绝对位移的非线性关系式出发，利用复合材料板的本构关系，推导了广义弹性力阵，用虚功原理建立了大变形复合材料薄板的有限元离散的动力学变分方程。考虑层合板风阻和气浮台风阻的影响，引入气浮台和层合板之间的面-面固定约束关系，建立了气浮台和复合材料层合板多体系统的第一类拉格朗日动力学方程，用广义-a法和牛顿迭代法求解微分-代数混合方程。为了验证计算结果的准确性，在单轴气浮台动力学仿真实验平台上开展了带有角位移驱动的复合材料层合板大变形刚-柔耦合动力学实验，讨论了传统点约束条件和改进后的面约束条件的数值结果的差异，并分析了层合板风阻和气浮台风阻对动力学响应的影响。